Czworokąt - wykaż (suma dł. przekątnych, połowa obwodu).

[miodas007]

Wykaż, że suma długości przekątnych czworokąta wypukłego jest mniejsza od obwodu.

[Szemek]

Oznaczmy w czworokącie cztery kolejne boki:
\(\displaystyle{ a, b, c, d > 0}\)
oraz przekątne \(\displaystyle{ e,f >0}\)

przekątna e musi spełniać warunek istnienia trójkąta
\(\displaystyle{ |a-b|< e < a+b}\)
\(\displaystyle{ |c-d| < e < c+d}\)
Zatem spełniona jest także nierówność:
\(\displaystyle{ |a-b|+|c-d| < 2e < a+b+c+d}\)
\(\displaystyle{ \frac{|a-b|+|c-d|}{2} < e < \frac{a+b+c+d}{2}}\)

przekątna f musi spełniać warunek istnienia trójkąta
\(\displaystyle{ |a-d| < f < a+d}\)
\(\displaystyle{ |b-c| < f < b+c}\)
\(\displaystyle{ |a-d|+|b-c| < 2f < a+b+c+d}\)
\(\displaystyle{ \frac{|a-d|+|b-c|}{2} < f < \frac{a+b+c+d}{2}}\)

Prawdziwa jest także nierówność:
\(\displaystyle{ e+f}\)

[miodas007]

hmm.....a w takim razie po co w tych nierównościach ta cała lewa strona. Znaczy sie chodzi mi o ta nierówność porównującą przekątne z tym wyrażeniami z wartością bezwględną??

[Szemek]

lewą stronę pomijasz w dalszym dowodzie,
zapisałem ją, ponieważ korzystam z warunku istnienia trójkąta