Czworokąt - wykaż (suma dł. przekątnych, połowa obwodu).
-
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 30 gru 2007, o 15:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarszyn
- Podziękował: 9 razy
Czworokąt - wykaż (suma dł. przekątnych, połowa obwodu).
Wykaż, że suma długości przekątnych czworokąta wypukłego jest mniejsza od obwodu.
Ostatnio zmieniony 6 sty 2008, o 14:00 przez miodas007, łącznie zmieniany 1 raz.
- Szemek
- Użytkownik
- Posty: 4819
- Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 1407 razy
Czworokąt - wykaż (suma dł. przekątnych, połowa obwodu).
Oznaczmy w czworokącie cztery kolejne boki:
\(\displaystyle{ a, b, c, d > 0}\)
oraz przekątne \(\displaystyle{ e,f >0}\)
przekątna e musi spełniać warunek istnienia trójkąta
\(\displaystyle{ |a-b|< e < a+b}\)
\(\displaystyle{ |c-d| < e < c+d}\)
Zatem spełniona jest także nierówność:
\(\displaystyle{ |a-b|+|c-d| < 2e < a+b+c+d}\)
\(\displaystyle{ \frac{|a-b|+|c-d|}{2} < e < \frac{a+b+c+d}{2}}\)
przekątna f musi spełniać warunek istnienia trójkąta
\(\displaystyle{ |a-d| < f < a+d}\)
\(\displaystyle{ |b-c| < f < b+c}\)
\(\displaystyle{ |a-d|+|b-c| < 2f < a+b+c+d}\)
\(\displaystyle{ \frac{|a-d|+|b-c|}{2} < f < \frac{a+b+c+d}{2}}\)
Prawdziwa jest także nierówność:
\(\displaystyle{ e+f}\)
\(\displaystyle{ a, b, c, d > 0}\)
oraz przekątne \(\displaystyle{ e,f >0}\)
przekątna e musi spełniać warunek istnienia trójkąta
\(\displaystyle{ |a-b|< e < a+b}\)
\(\displaystyle{ |c-d| < e < c+d}\)
Zatem spełniona jest także nierówność:
\(\displaystyle{ |a-b|+|c-d| < 2e < a+b+c+d}\)
\(\displaystyle{ \frac{|a-b|+|c-d|}{2} < e < \frac{a+b+c+d}{2}}\)
przekątna f musi spełniać warunek istnienia trójkąta
\(\displaystyle{ |a-d| < f < a+d}\)
\(\displaystyle{ |b-c| < f < b+c}\)
\(\displaystyle{ |a-d|+|b-c| < 2f < a+b+c+d}\)
\(\displaystyle{ \frac{|a-d|+|b-c|}{2} < f < \frac{a+b+c+d}{2}}\)
Prawdziwa jest także nierówność:
\(\displaystyle{ e+f}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 30 gru 2007, o 15:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarszyn
- Podziękował: 9 razy
Czworokąt - wykaż (suma dł. przekątnych, połowa obwodu).
hmm.....a w takim razie po co w tych nierównościach ta cała lewa strona. Znaczy sie chodzi mi o ta nierówność porównującą przekątne z tym wyrażeniami z wartością bezwględną??
- Szemek
- Użytkownik
- Posty: 4819
- Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 1407 razy
Czworokąt - wykaż (suma dł. przekątnych, połowa obwodu).
lewą stronę pomijasz w dalszym dowodzie,
zapisałem ją, ponieważ korzystam z warunku istnienia trójkąta
zapisałem ją, ponieważ korzystam z warunku istnienia trójkąta