Witam!
Czy potrafiłby ktoś wyprowadzić wzór na odcinek koła ?
Wyprowadź wzór na odcinek koła
-
olazola
- Użytkownik
- Posty: 811
- Rejestracja: 21 paź 2004, o 13:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Sopot
- Pomógł: 36 razy
Wyprowadź wzór na odcinek koła
Zakładam, że promień (r) i kąt środkowy (α ) są dane:
Ogólnie to pole tego odcinka dostajemy w wyniku odejmowania powa wycinka koła od pola trójkąta równoramiennego o ramionach dl r i podstawie równej długości siecznej.
1) Pole wycinka koła:
\(\displaystyle{ \large P_{w}=\frac{\alpha}{360^{\circ}}\cdot \pi r^2\\P_{w}=\frac{1}{2}\alpha\cdot r^2}\)
2) Pole trójkąta:
\(\displaystyle{ P_{\bigtriangleup}=\frac{1}{2}xh}\) - gdzie x - długość siecznej, h - wysokość trójkąta.
a) Aby obliczyć długość x korzystam z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ \large x^2=2r^2-2r^2\cos x\\x=r\sqrt{2}\sqrt{1-\cos\alpha}}\)
b) h obliczamy z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ \large h^2+\(\frac{x}{2}\)^2=r^2\\h=\frac{1}{2}r\sqrt{2}\sqrt{1+\cos\alpha}}\)
\(\displaystyle{ P_{\bigtriangleup}=\frac{1}{2}r^2\sin }\)
Po wszystkich zabiegach dostajesz odpowiedni wzór.
Teraz dopiero przypomniał mi się wzór na pole trójkąta ten z sinusem, czyli tak naprawde wystarczyło go zastosować, nie ma to jak komplikować sobie życie
Ogólnie to pole tego odcinka dostajemy w wyniku odejmowania powa wycinka koła od pola trójkąta równoramiennego o ramionach dl r i podstawie równej długości siecznej.
1) Pole wycinka koła:
\(\displaystyle{ \large P_{w}=\frac{\alpha}{360^{\circ}}\cdot \pi r^2\\P_{w}=\frac{1}{2}\alpha\cdot r^2}\)
2) Pole trójkąta:
\(\displaystyle{ P_{\bigtriangleup}=\frac{1}{2}xh}\) - gdzie x - długość siecznej, h - wysokość trójkąta.
a) Aby obliczyć długość x korzystam z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ \large x^2=2r^2-2r^2\cos x\\x=r\sqrt{2}\sqrt{1-\cos\alpha}}\)
b) h obliczamy z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ \large h^2+\(\frac{x}{2}\)^2=r^2\\h=\frac{1}{2}r\sqrt{2}\sqrt{1+\cos\alpha}}\)
\(\displaystyle{ P_{\bigtriangleup}=\frac{1}{2}r^2\sin }\)
Po wszystkich zabiegach dostajesz odpowiedni wzór.
Teraz dopiero przypomniał mi się wzór na pole trójkąta ten z sinusem, czyli tak naprawde wystarczyło go zastosować, nie ma to jak komplikować sobie życie