Prostokat i stosunek jego bokow

[maniek099]

Z przeciwległych wierzchołków prostokąta poprowadzono odcinki prostopadłe do przekątnej. Odcinki te podzieliły przekątną na trzy równe części. Znajdź stosunek boków tego prostokąta.

[Justka]

a,b - długości boków prostokąta
3x- przekątna prostokąta (gdzie "x" jedna z 3części na które podzieliły przekatną odcinki do niej prostopadłe)
Robiąc staranny rysunek można zauważyć, że:
\(\displaystyle{ a^2+b^2=(3x)^2\\
(2x)^2+(\sqrt{a^2-x^2})^2=b^2}\)
Po krótkich przekształceniach dochodzimy do postaci:
\(\displaystyle{ a^2=3x^2 \iff a=x\sqrt{3}\\
b^2=6x^2 \iff b=x\sqrt{6}}\)
A więc stosunek
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}}\)
;]

[Mariusz123]

\(\displaystyle{ (2x)^2+(\sqrt{a^2-x^2})^2=b^2}\)

mogłabyś wyjaśnić skąd się to pojawiło ?

[maniek099]

No wlasnie, skad to wzielas? I po jakich przeksztalceniach???

[Justka]

AU

6obnkvr.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 80 razy

Na rysunku wprowadziłam pomocnicze \(\displaystyle{ y}\).
Z twierdzenia Pitagorasa: \(\displaystyle{ y^2+x^2=a^2 y^2=a^2-x^2 y=\sqrt{a^2-x^2}}\)
I ponownie korzystając z tego twierdzenia układamy równość aby otrzymać bok \(\displaystyle{ b}\):
\(\displaystyle{ (2x)^2+y^2=b^2 (2x)^2+(\sqrt{a^2-x^2})^2=b^2}\)

I po jakich przeksztalceniach???

\(\displaystyle{ \begin{cases}a^2+b^2=9x^2\\(2x}^2+(\sqrt{a^2-x^2})^2=b^2\end{cases}\\
\begin{cases}b^2=9x^2-a^2\\
4x^2-x^2+a^2=9x^2-a^2\end{cases}\\
\begin{cases} a^2=3x^2\\b^2=9x^2-3x^2 6x^2\end{cases}}\)