Punkty A, B, C,D są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku o obwodzie równym 26. Wiedząc, że \(\displaystyle{ kat ABC=120^{\circ}}\) i promień okręgu wpisanego w trójkąt BCD jest równy \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\), oblicz długości boków i pole równoległoboku.
z góry dziękuję za pomoc!
równoległobok
-
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
równoległobok
a, b - boki równoległoboku,
d=|BD|,
\(\displaystyle{ 2a+2b=26 \\ a+b=13}\)
Z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ d^2=a^2+b^2-2abcos60^0 \\ d^2=a^2+b^2-ab}\)
Pole trójkąta BCD:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}absin60^0= \frac{ab\sqrt3}{4}}\)
Ze wzoru na pole trójkąta: \(\displaystyle{ P=pr}\)
gdzie p - połowa obwodu,
r - promień okręgu wpisanego w trójkąt:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{ab\sqrt3}{4} }{ \frac{d+a+b}{2} }=\sqrt3 \\ \frac{ab}{2(d+a+b)}=1}\)
Rozwiązując układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=13 \\ d^2=a^2+b^2-ab \\ \frac{ab}{2(d+a+b)}=1 \end{cases}}\)
otrzymasz a, b , które pozwolą podać odpowiedzi do zad.
(Długości boków powinny wyjść 8 oraz 5).
d=|BD|,
\(\displaystyle{ 2a+2b=26 \\ a+b=13}\)
Z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ d^2=a^2+b^2-2abcos60^0 \\ d^2=a^2+b^2-ab}\)
Pole trójkąta BCD:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}absin60^0= \frac{ab\sqrt3}{4}}\)
Ze wzoru na pole trójkąta: \(\displaystyle{ P=pr}\)
gdzie p - połowa obwodu,
r - promień okręgu wpisanego w trójkąt:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{ab\sqrt3}{4} }{ \frac{d+a+b}{2} }=\sqrt3 \\ \frac{ab}{2(d+a+b)}=1}\)
Rozwiązując układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=13 \\ d^2=a^2+b^2-ab \\ \frac{ab}{2(d+a+b)}=1 \end{cases}}\)
otrzymasz a, b , które pozwolą podać odpowiedzi do zad.
(Długości boków powinny wyjść 8 oraz 5).