równoległobok

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Pumba
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 138
Rejestracja: 14 paź 2007, o 16:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 101 razy

równoległobok

Post autor: Pumba »

Punkty A, B, C,D są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku o obwodzie równym 26. Wiedząc, że \(\displaystyle{ kat ABC=120^{\circ}}\) i promień okręgu wpisanego w trójkąt BCD jest równy \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\), oblicz długości boków i pole równoległoboku.

z góry dziękuję za pomoc!
wb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3507
Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1260 razy

równoległobok

Post autor: wb »

a, b - boki równoległoboku,
d=|BD|,

\(\displaystyle{ 2a+2b=26 \\ a+b=13}\)

Z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ d^2=a^2+b^2-2abcos60^0 \\ d^2=a^2+b^2-ab}\)

Pole trójkąta BCD:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}absin60^0= \frac{ab\sqrt3}{4}}\)

Ze wzoru na pole trójkąta: \(\displaystyle{ P=pr}\)
gdzie p - połowa obwodu,
r - promień okręgu wpisanego w trójkąt:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{ab\sqrt3}{4} }{ \frac{d+a+b}{2} }=\sqrt3 \\ \frac{ab}{2(d+a+b)}=1}\)

Rozwiązując układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=13 \\ d^2=a^2+b^2-ab \\ \frac{ab}{2(d+a+b)}=1 \end{cases}}\)
otrzymasz a, b , które pozwolą podać odpowiedzi do zad.

(Długości boków powinny wyjść 8 oraz 5).
ODPOWIEDZ