Geometria kilka zadań cz. II

[claher]

Zadanie 10.
Udowodnij, że jeżeli długości trzech wysokości trójkąta spełniają warunek:


\(\displaystyle{ (\frac{1}{h _{1} }) ^{2} + (\frac{1}{h_{2}}) ^{2} = (\frac{1}{h_{3}}) ^{2}}\)


to trójkąt jest prostokątny.

...


Zadanie 13.
Ostrosłup przecięto płaszczyzną równoległa do podstawy i dzielącą jego wysokość na połowy. Oblicz stosunek objętości otrzymanych brył.

Zadanie 14.
Objętość i pole powierzchni walca wyrażone są tą samą liczba dodatnią. Jaka jest długość promienia podstawy i wysokość tego walca, jeżeli wiadomo, że wyrażone są one liczbami całkowitymi.

Zadanie 15.
W czworościanie ABCD krawędzie AB i CD są równej długości. Niech K, L, M, N będą środkami odpowiednich krawędzi czworościanu: AD, BD, BC, AC. Udowodnij, że proste KM i LN przecinają się pod kątem prostym.

Zadanie 16.
Środkiem symetrii rombu jest punkt O(0,0). Jednym wierzchołkiem rombu jest punkt A(2,2). Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu, wiedząc, że jego pole wynosi 4.


Za pomoc w rozwiązaniach dziękuję

[Dargi]

agradzam plusami Za pomoc w rozwiązaniach dziękuję

Co to ma być?

[Wasilewski]

Po pierwsze; korupcja surowo wzbroniona
10)\(\displaystyle{ ah_1 = b_h2 = c h_3 = 2P \\
\frac{1}{h_2} = \frac{b}{ah_1} \ \ \ \frac{1}{h_3} = \frac{c}{ah_1} \\
Do \ wzoru: \\
\frac{1}{h_1^2} + \frac{b^2}{a^2 h_1^2} = \frac{c^2}{a^2 h_1^2} \\
\frac{a^2}{a^2 h_1^2} + \frac{b^2}{a^2 h_1^2} = \frac{c^2}{a^2 h_1^2} \\
Mnozymy \ przez \ mianownik: \\
a^2 + b^2 = c^2}\)
Na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa stwierdzam, że jest to trójkąt prostokątny.

[Kamix___33]

13. Bryły podobne. Stosunek objętości brył podobnych jest równy \(\displaystyle{ k^{3}}\). W związku z tym objętość ściętego ostrosłupa jest równa 1/8 objętości całego ostrosłupa.
V-1/8V=7/8V
\(\displaystyle{ \frac{7}{8}:\frac{1}{8}V=\frac{7}{1}}\)

[Pablo09]

zad. 16
Skoro środkiem symetri rombu jest punkt O (0,0) a punkt C leży w 3. ćwiartce to współrzędne wierzchołka C będą miały
\(\displaystyle{ C (-2,-2)}\)
Liczymy teraz długośc tej przekątnej:
\(\displaystyle{ |AC| = \sqrt{(2+2) ^{2} + (2+2) ^{2} } = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}}\)
Teraz liczymy długośc drugiej przekątnej podstawjając do wzoru na pole
\(\displaystyle{ P=\frac{d1*d2}{2}}\)
Z tego otrzymamy, że druga przekątna ma długośc \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)
Przekątne dzielą się w rombie na połowy, więc długość odcinka w 4. ćwiartce wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sqrt{2}}\)
Teraz, aby policzyć współrzędne tego punktu(oznaczmy go jako B) tworzymy w 4. ćwiartce kwadrat o przekątnej \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sqrt{2}}\) (punkt przecięcia się boków kwadratu z przekątną to nasz punkt B) . Liczymy jego pole
\(\displaystyle{ P=[(\frac{1}{2} \sqrt{2}) ^{2}]/2}\) czyi
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{4}}\)
Liczymy boki
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}= a^{2}}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{1}{2}}\)
Tak więc punkt \(\displaystyle{ B(\frac{-1}{2}, \frac{-1}{2})}\) (leży w 4. ćwiartce, więc współrzędne mają -x -y )
Punkt C leży w 2. ćwiartce (-x,y), jego współrzędne będą więc wynosiły
\(\displaystyle{ C(\frac{-1}{2},\frac{1}{2})}\)

[claher]

Proszę o pomoc w 14 i 15 zadaniu i o szczegółowe rozpisanie zadania 13;)

[Szemek]

Zadanie 14.
Objętość i pole powierzchni walca wyrażone są tą samą liczba dodatnią. Jaka jest długość promienia podstawy i wysokość tego walca, jeżeli wiadomo, że wyrażone są one liczbami całkowitymi.

\(\displaystyle{ \pi r^2 H = 2 \pi r(r+H)}\)
\(\displaystyle{ rH=2r+2H}\)
\(\displaystyle{ rH-2r=2H}\)
\(\displaystyle{ r(H-2)=2H}\)
\(\displaystyle{ r=\frac{2H}{H-2}}\)

[Pablo09]

zad. 15
Możemy tutaj skorzystac z faktu, że odcinek łączący środki boków w dowolnym trójkącie ma długosć równą 1/2 długości podstawy (jest też do niej równoległy).
Tak więc po wykonaniu rysunku można zauważyć, że
NM || AB |NM|=1/2 |AB|
KL || AB |KL|=1/2 |AB|
ML || CD |ML|=1/2 |CD|
KN || CD |KN|=1/2 |CD|
Otrzymana figura KLNM jest rombem, w którym przekątne KM i LN przecinaja się pod kątem prostym.