Geometria kilka zadań cz. I

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Awatar użytkownika
claher
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 17 wrz 2007, o 14:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lubień
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 3 razy

Geometria kilka zadań cz. I

Post autor: claher »

Dwa pierwsze zadania do sprawdzenia:


Zadanie 1. W trójkącie prostokątnym okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r}\) jest styczny do obu przyprostokątnych, a jego środek leży na przeciwprostokątnej i dzieli ją w stosunku \(\displaystyle{ m : n}\). Oblicz pole tego trójkąta.

W pierwszym zadaniu problemów nie miałem ale nie wiem czy jest to dobry sposób rozwiązania.

Liczę x i y z Pitagorasa i rozwiązuje to zadanie



\(\displaystyle{ x ^{2} +r ^{2} = n^{2}}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} = n^{2} - r ^{2}}\)
\(\displaystyle{ x = \sqrt{n ^{2} - r ^{2}}}\)


\(\displaystyle{ y ^{2} +r ^{2} = m^{2}}\)
\(\displaystyle{ y ^{2} = m^{2} - r ^{2}}\)
\(\displaystyle{ y = \sqrt{m ^{2} - r ^{2}}}\)


\(\displaystyle{ Pc=r ^{2} + \frac{1}{2} ( \sqrt{n ^{2} - r ^{2}}) r + \frac{1}{2} ( \sqrt{m ^{2} - r ^{2}}) r}\) i mogę to zamienić tak?

\(\displaystyle{ Pc=r ^{2} + \frac{1}{2} r \sqrt{n ^{2} - r ^{2}} + \frac{1}{2} r \sqrt{m ^{2} - r ^{2}}}\)

Myślę że to zadania rozwiązałem dobrze;)
LichuKlichu już wiem czemu I dzięki za podpowiedź ;P

Zadanie 2.
Dane są dwa okręgi o wspólnym środku. Cięciwa większego okręgu styczna do mniejszego okręgu ma 10 cm długości. Oblicz pole pierścienia kołowego wyznaczonego przez te okręgi.



Jak widać narysowałem sobie trójkąt równoboczny na którym jest opisany okrąg a także w który jest wpisany okrąg.

Korzystając ze wzoru \(\displaystyle{ \frac{/Pi}{4} a ^{2}}\)
Liczę pole naszego pierścienia.
\(\displaystyle{ \frac{\Pi}{4} a ^{2} = \frac{\Pi}{4} 10 ^{2} = \frac{100\Pi}{4}=25\Pi}\)

Zadanie 3.
Czy w garnku o średnicy 24 cm zmieszczą się 4 słoiki o średnicy 10cm każdy?

Z rysunku (oczywiście nie w rzeczywistych wymiarach) wyszło mi że się zmieszczą, ale czy jest to prawda i jak to udowodnić to nie wiem.

Zadanie 4.
Jedno z ramion trójkąta równoramiennego ABC przecięto prostą prostopadłą do podstawy AB, która na przedłużeniu boku AC wyznaczyła punkt K, na ramieniu BC - punkt L, a na podstawie AB - punkt M. Udowodnij, że trójkąt KLC jest równoramienny.

Z rysunku to jasno wynika... ale jak to udowodnić?

Zadanie 5.
Udowodnij, że środkowe trójkąta dzielą trójkąt na 6 części o równych polach.

Gdyby rozpatrywałem szczególny przypadek (trójkąt równoboczny) to wysokości tego trójkąta są środkowymi. No i dzielą ten duży trójkąt na małe trójkąty o kątach 90,60,30.
Natomiast nie wiem jak udowodnić to na innym trójkącie.

Zadanie 6.
Wykaż, że jeżeli w trójkącie równoramiennym dwusieczna kąta przy podstawie jest prostopadła do ramienia, to ten trójkąt jest równoboczny.

Po narysowaniu trójkąta równobocznego i jego dwusiecznej (która pokrywa się z wysokością) no to niby wykazałem to ale czy to jest wykazanie??

Zadanie 7.
W trapezie ABCD połączono środek ramienia BC z wierzchołkami A i D. Udowodnij, że pole trójkąta AED jest równe połowie pola trapezu.

Zadanie 8. (Do sprawdzenia)
W okręgu poprowadzono średnicę AB i równoległa do niej cięciwę DC ; \(\displaystyle{ |AC|=12, |AD|=5.}\)Oblicz promień okręgu.

\(\displaystyle{ |BC|=|AD|}\) - podstawy są równoległe i ograniczone okręgiem więc musi to być trójkąt równoramienny.

\(\displaystyle{ |BC|= 5}\)
\(\displaystyle{ \angle ACB - kąt \ wpisany \ oparty \ na \ srednicy \ 90 ^{o}}\)
\(\displaystyle{ d - srednica}\)
\(\displaystyle{ 12 ^{2} + 5 ^{2} = d ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 144 + 25 = d ^{2}}\)
\(\displaystyle{ d = 13}\)
\(\displaystyle{ r = 6,5}\)

Zadanie 9.
Boki czworokąta niewypukłego są parami równe. Dwa kąty tego czworokąta mają miary równe \(\displaystyle{ 60 ^{o}\ i \ 270 ^{o}}\). Krótszy bok ma długość 2cm. Oblicz pole tego czworokąta.


Za pomoc z góry dziękuję
Ostatnio zmieniony 30 gru 2007, o 20:59 przez claher, łącznie zmieniany 4 razy.
Awatar użytkownika
LichuKlichu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 369
Rejestracja: 11 lis 2007, o 10:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczyrk
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 89 razy

Geometria kilka zadań cz. I

Post autor: LichuKlichu »

\(\displaystyle{ x ^{2} +r ^{2} = n^{2}}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} = n^{2} - r ^{2}}\)
\(\displaystyle{ x = n - r}\)


\(\displaystyle{ y ^{2} +r ^{2} = m^{2}}\)
\(\displaystyle{ y ^{2} = m^{2} - r ^{2}}\)
\(\displaystyle{ y = m - r}\)
nie mozesz zrobic czegos takiego
\(\displaystyle{ x ^{2} = n^{2} - r ^{2}}\)
\(\displaystyle{ x=\sqrt{n^{2}-r^{2}}}\)

\(\displaystyle{ y ^{2} = m^{2} - r ^{2}}\)
\(\displaystyle{ y=\sqrt{m^{2}-r^{2}}}\)

[ Dodano: 29 Grudnia 2007, 16:47 ]
Zad.3


Przyjmijmy że okręgi są styczne

\(\displaystyle{ r=12cm}\)
Łaczymy środki okręgów (słoików) i otrzymujemy kwadrat.
Poprowadźmy teraz średnicę dużego okręgu przechodzącą przez punkty D E i B
Ma ona długość 24 cm i składa się z: 2 promieni małego okręgu oraz przekątnej kwadratu. Kwadrat ma bok długości 2r czyli jego przekątna to \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}r}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ 24=2r+2\sqrt{2}r}\)
\(\displaystyle{ 12=r+\sqrt{2}r}\)
\(\displaystyle{ 12=r(1+\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ r=\frac{12}{1+\sqrt{2}}}\)
\(\displaystyle{ r=12(\sqrt{2}-1)}\)
taki promień (albo mniejszy) musiały by mieć słoiki żeby się zmieścić
\(\displaystyle{ 12(\sqrt{2}-1)
zapomnialem oznaczyc literkami powstale punkty ale mysle ze zauwazysz co jest co



zaznaczasz kąt przy wierzchołku A literką x a dalej juz samo wychodzi
trójkąt KLC ma dwa kąty jednakowe więc jest równoramienny.}\)
Awatar użytkownika
claher
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 17 wrz 2007, o 14:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lubień
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 3 razy

Geometria kilka zadań cz. I

Post autor: claher »

Proszę o pomoc w 7 i 9 zadaniu

[ Dodano: 31 Grudnia 2007, 11:16 ]
Zadanie 9.
Boki czworokąta niewypukłego są parami równe. Dwa kąty tego czworokąta mają miary równe \(\displaystyle{ 60 ^{o}\ i \ 270 ^{o}}\). Krótszy bok ma długość 2cm. Oblicz pole tego czworokąta.
Pablo09
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 260
Rejestracja: 3 lis 2007, o 17:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nidzica
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 59 razy

Geometria kilka zadań cz. I

Post autor: Pablo09 »

zad. 9
Tutaj należy zauważyć, że po połączeniu wierzchołków otrzymamy trójkąt równoboczny o boku a oraz trójkąt prostokątny o bokach 2, 2 i a. Liczymy z tw. Pitagorasa a, otrzymujemy
\(\displaystyle{ a=2 \sqrt{2}}\)
Liczymy pole dużego trójkąta, otrzymuejmy
\(\displaystyle{ P _{1}=2 \sqrt{3}}\)
Aby obliczyc pole czworokąta odejmujemy od pola tójkąta dużego pole trójkąta małego (tego prostokątnego;wynosi ono \(\displaystyle{ 2cm}\))
Tak więc pole szsukanego czworokąta wynosi:
\(\displaystyle{ P= P_{1}-P _{2}}\)
\(\displaystyle{ P=2 \sqrt{3}-2}\)
ODPOWIEDZ