udowodnij twierdzenie

[poniedziałek]

Udowodnij twierdzenie: Jeżeli a,b,c to długości boków trójkąta i \(\displaystyle{ a qslant b qslant c}\) i \(\displaystyle{ P=S}\), to \(\displaystyle{ b qslant \sqrt{2 S}}\).

[Qń]

Niech \(\displaystyle{ \beta}\) będzie miarą kąta między bokami \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ c}\), natomiast \(\displaystyle{ h}\) - długością wysokości opuszczonej na prostą zawierającą bok \(\displaystyle{ c}\). Mamy:
\(\displaystyle{ \sin \beta = \frac{h}{a} qslant \frac{b}{a}}\) (dlaczego? - ćwiczenie )
czyli:
\(\displaystyle{ a \sin \beta qslant b}\)
i z założenia:
\(\displaystyle{ c qslant b}\)
Mnożymy dwie ostatnie nierówności stronami i dostajemy:
\(\displaystyle{ b^2 qslant ac \sin \beta = 2S}\)
skąd oczywiście wynika teza.

Można spytać jeszcze kiedy w tej nierówności zachodzi równość - naturalnie wtedy gdy równość zachodzi w każdej z poprzednich nierówności, czyli gdy \(\displaystyle{ h=b=c}\), a więc wtedy i tylko wtedy gdy nasz trójkąt jest połową kwadratu.

Pozdrawiam.
Qń.