cięcie pięciokąta

[dabros]

Każda przekątna pewnego pięciokąta wypukłego odcina od niego trójkąt o polu 1. Obliczyć pole tego pięciokąta.

oto jest pytanie - kto podejmie wyzwanie?

[blondinetka]

... 524a2.html -rysunek pomocniczy
czyli tam jest 10 trókątów +to pole tego pięciokata
to zadanie robi się ciekawe

[LichuKlichu]

problem w tym że ten pięciokąt w środku nie jest trójkątem no chyba że to udowodnisz heh

[Qń]

Łatwo (no, powiedzmy) zauważyć, że przekątne takiego pięciokąta przecinają się w stosunku \(\displaystyle{ (S-3):1}\) - przy czym mam tu na myśli stosunek dłuższego długości dłuższego kawałka przekątnej do długości całej przekątnej. Jeśli więc jest to pięciokąt foremny, o którym wiemy, że przekątne przecinają się w stosunku złotego podziału ( tzn.\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{5} -1}{2} : 1}\)), to łatwo stąd dostaniemy, że \(\displaystyle{ S = \frac{\sqrt{5} +5}{2}}\).

Pozostaje wykazać, że istotnie musi być pięciokąt foremny - nie widzę jednak niestety prostego argumentu za tym, że jeśli wszystkie przekątne pięciokąta przecinają się w tym samym stosunku, to musi to być pięciokąt foremny. Wygląda na oczywiste, ale jak to ściśle udowodnić?

Pozdrawiam.
Qń.

[dabros]

ale w zadaniu chodzi tylko o pole pieciokata - niewazny jest jego rodzaj
czy moglbys dokladniej rozpisac jak wyznaczyc stosunek przecinania sie przekatnych i obliczenie pola bo niestety nie nadazam

[Qń]

ale w zadaniu chodzi tylko o pole pieciokata - niewazny jest jego rodzaj

Ale w proponowanym rozwiązaniu korzystałem z tego, że jest to pięciokąt foremny.

czy moglbys dokladniej rozpisac jak wyznaczyc stosunek przecinania sie przekatnych i obliczenie pola

Tego się obawiałem .
Oznaczmy wierzchołki pięciokąta przez \(\displaystyle{ A,B,C,D,E,F}\), a punkty przecięcia przekątnych przez \(\displaystyle{ K,L,N,M,O}\) (przy czym \(\displaystyle{ K}\) leży "naprzeciwko" \(\displaystyle{ A}\) etc.). Proponuję kolejno sprawdzić, że:
1) \(\displaystyle{ AB CE}\) ( i odpowiednio tak samo dla pozostałych boków i przekątnych)
2) \(\displaystyle{ S_{ALC}=S_{ABC}=1}\)
3) \(\displaystyle{ S_{ALE}=S - S_{ABC} - S_{ALC} - S_{CDE} = S -3}\)
4) \(\displaystyle{ S_{ALE} : S_{ADE} = ft| AL \right| : ft| AD \right|}\)
5) jeśli nasz pięciokąt jest foremny, to \(\displaystyle{ (S-3) = \frac{\sqrt{5}-1}{2}}\)

Mam nadzieję, że nigdzie się nie pomyliłem w oznaczeniach.

Pozdrawiam.
Qń.

[dabros]

a jak w takim razie policzyc pole?
a czy w zadaniu nie mozna zalozyc ze jest to pieciokat foremny i pokazac, ze w nim rzeczywiscie przekatne ucinaja wymagane trojkaty?

[Qń]

a jak w takim razie policzyc pole?

Z równości w 5) - dość prosto .

a czy w zadaniu nie mozna zalozyc ze jest to pieciokat foremny i pokazac, ze w nim rzeczywiscie przekatne ucinaja wymagane trojkaty?

Nie można, bo być może istnieje inny pięciokąt o żądanej własności, ale o różnym polu. Żeby rozwiązanie było pełne trzeba więc wykazać, że inny nie istnieje.

Pozdrawiam.
Qń.

[ Dodano: 1 Stycznia 2008, 14:52 ]
Ok, umiem pokazać, że przekątne naszego pięciokąta muszą się przecinać w stosunku złotego podziału - to wystarcza (choć myślę, że z tego też wynika, że musi to być pięciokąt foremny).

Z tw. Talesa mamy:
\(\displaystyle{ \frac{ ft|AM \right| }{ ft| AD \right| } =
\frac{ ft| AN \right| }{ ft| AC \right| } =
\frac{ ft| EL \right| }{ ft| EC \right| } =
\frac{ ft| EM \right| }{ ft| EB \right| } =
\frac{ ft| DK \right| }{ ft| DB \right| } =
\frac{ ft| DL \right| }{ ft| AD \right| }}\)
a stąd \(\displaystyle{ \left| AM \right| =\left| DL \right|}\)

Z powyższej równości i tw. Talesa dostajemy też:
\(\displaystyle{ \frac{ ft|LK \right| }{ ft| AB \right| } =
\frac{ ft| DL \right| }{ ft| AD \right| } =
\frac{ ft|AM \right| }{ ft| AD \right| } =
\frac{ ft|MN \right| }{ ft| DC \right| }}\)
co oznacza, że w pięciokątach \(\displaystyle{ ABCDE}\) i \(\displaystyle{ KLMNO}\) stosunek odpowiednich boków jest równy. W połączeniu z obserwacją, że te pięciokąty mają odpowiednie kąty równe, możemy wywnioskować, że są to figury podobne. To zaś jest nam potrzebne tylko do tego, by stwierdzić, że proste \(\displaystyle{ LK}\) i \(\displaystyle{ OM}\) są równoległe.

Jeśli oznaczymy \(\displaystyle{ \left| AM \right| =\left| DL \right| = x}\) oraz \(\displaystyle{ \left| ML \right| = y}\), to z tw. Talesa dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac{x}{x+y} = \frac{x+y}{2x+y}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \frac{x}{x+y} (1 + \frac{x}{x+y}) = 1}\)
co oznacza, że \(\displaystyle{ \frac{x}{x+y}}\) jest dodatnim rozwiązaniem równania:
\(\displaystyle{ \alpha ^2 + - 1 = 0}\)
czyli jest równe tyle ile trzeba.

Mamy więc pełne rozwiązanie zadania, choć być może nie jest ono najprostsze z możliwych.

Pozdrawiam.
Qń.

[dabros]

1) AB || CE ( i odpowiednio tak samo dla pozostałych boków i przekątnych)

może mi ktoś wyjaśnić skąd wynika to przekształcenie, bo nie za bardzo to widzę

[Mathieu]

Długo tu nikt nic nie pisał, a ja nadal mam podobne dylematy jak dabros.

Skąd wy wiecie, że AB||CE i jak to zgrabnie wykazać?

Wiem, że to stare zadanie, ale może znajdzie się jeszcze ktoś kto będzie umiał to wyjaśnić.

[bane]

Proszę o wstrzymanie się z odpowiedziami na to zadanie przynajmniej do 15 kwietnia.
Jest to jedno z zadań trzeciego etapu internetowego konkursu matematycznego org. przez MiNI PW

[Rogal]

Też nie mają skąd zadań brać ;p.
Póki co blokuję. Niech sprawę obaczy ktoś, kto jest bliżej tego konkursu.