srodek ciezkosci kwadratu

[dabros]

Dany jest kwadrat i dowolny punkt 0 leżący wewnątrz tego kwadratu. Wykaż, że środki ciężkości trójkątów ABO, BCO, CDO, DAO tworzą kwadrat o stałym polu.

[Sylwek]

Wpiszmy nasz kwadrat w układ współrzędnych:
\(\displaystyle{ A(0,0) \\ B(0,a) \\ C(a,a) \\ D(a,0) \\ E(x,y)}\)

\(\displaystyle{ S_{1}}\) to środek ciężkości trójkąta \(\displaystyle{ ABE}\), dalej przeciwnie do ruchu wskazówek zegara \(\displaystyle{ S_{2}}\) itd.

\(\displaystyle{ S_{1}(\frac{x}{3},\frac{a+y}{3}) \\ S_{2} (\frac{x+y}{3},\frac{y}{3}) \\ S_{3}(\frac{x+2a}{3},\frac{y+a}{3}) \\ S_{4}(\frac{x+a}{3},\frac{y+2a}{3}) \\ \vec{S_{1}S_{3}}=[\frac{2a}{3},0] \\ \vec{S_{2}S_{4}}=[0,\frac{2a}{3}]}\)

\(\displaystyle{ \vec{S_{1}S_{3}} \circ \vec{S_{2}S_{4}}=0}\) - iloczyn skalarny wektorów (przekątnych figury) jest zerem - wektory te są prostopadłe

\(\displaystyle{ \vec{S_{1}S_{3}}=\vec{S_{2}S_{4}}}\) - wektory (przekątne figury) te są równej długości

Więc jest to kwadrat. Ze wzoru na pole kwadratu:
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}|\vec{S_{1}S_{3}}|^2=\frac{1}{2}\frac{4a^2}{9}=\frac{2}{9}a^2}\)
To pole nie zależy od położenia punktu E.

[dabros]

pozostaje udowodnic ze sasiednie wektory SS[i+1] sa rownolegle, bo inaczej to moglby byc deltoid
już wszystko w porzadku
p.s: pomyliles sie przy obliczaniu pierwszej wspolrzednej S2