udowodnij twierdzenie

[poniedziałek]

Udowodnij twierdzenie: Jeżeli a i b są długościami dowolnych boków trójkąta, to prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ P qslant \frac{ a^{2} + b^{2} }{4}}\)

[Sylwek]

Korzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ab \sin }\) oraz z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną a geometryczną:

\(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{4}=\frac{1}{2} \frac{a^2+b^2}{2} q \frac{1}{2} \sqrt{a^2b^2}=\frac{1}{2}ab q \frac{1}{2} ab \sin = P}\).

[setch]

\(\displaystyle{ P=\frac{ab\sin }{2} q \frac{ab}{2} q \frac{a^2+b^2}{4}}\)
Do udowodnienia zostaje ta ostatnia nierówność
\(\displaystyle{ \frac{ab}{2} q \frac{a^2+b^2}{4} \quad | \quad 4\\
a^2-2ab+b^2 q 0\\
(a-b)^2 q 0}\)
zatem
\(\displaystyle{ P q \frac{a^2+b^2}{4}}\)