Stosunek pola trepezu do pola sześciokąta

[levik]

Oto zadanko:

W sześciokącie foremnym ABCDEF prosta równoległa do boku AF przecina boki AB i EF odpowiednio w pkt. K i L, tak że |BK|=2|AK|. Znajdź stosunek pola trapezu AKLF do pola całego sześciokąta.

Dzięki za posty, życzę Wesołych Świąt :]

[Wasilewski]

Obliczmy długość odcinka |KL|. Oznaczam na odcinku |BE| takie punkty G i H, że G jest spodkiem wysokości opuszczonej z punktu A (rozważam trapez ABEF), a H - z punktu K (trapez KBEL):
\(\displaystyle{ \frac{|AB|}{|BG|} = \frac{BK}{BH}}\)
\(\displaystyle{ |BH| = \frac{|BK||BG|}{|AB|}}\)
a - bok sześciokąta
\(\displaystyle{ |BK| = \frac{2}{3} a}\)
\(\displaystyle{ |BG| = \frac{2a - a}{2} = \frac{a}{2}}\)
\(\displaystyle{ |AB| = a}\)
\(\displaystyle{ |BH| = \frac{a}{3}}\)
\(\displaystyle{ |KL| = |BE| - 2|BH| = 2a - \frac{2a}{3} = \frac{4}{3} a}\)
\(\displaystyle{ |AG| = h}\)
\(\displaystyle{ \frac{|AG|}{|KH|} = \frac{|AB|}{|KB|}}\)
\(\displaystyle{ |KH| = \frac{2}{3} h}\)
Pole trapezu ABEF (połowa sześciokąta):
\(\displaystyle{ P = \frac{3a}{2} h}\)
Wysokość trapezu AKLF: \(\displaystyle{ h' = h - |KH| = \frac{1}{3} h}\)
Pole trapezu AKLF:
\(\displaystyle{ P_2 = \frac{\frac{4}{3}a + a}{2}\cdot \frac{1}{3} h = \frac{7}{18} ah = \frac{7}{27} P}\)
Stosunek do pola sześciokąta: \(\displaystyle{ \frac{7}{54}}\)
Mam nadzieję, że się nie pomyliłem.

[levik]

Wszystko w jak najlepszym porządku! Odpowiedź OK! Dzięki!