Kolejne katy czworokata wpisanego w okrag maja miary 75°, 90°. Oblicz pole tego
czworokata, jesli promien okregu ma długosc r i wiadomo, e ten z boków przy kacie
prostym, który nie jest przyległy do kata 75° ma długosc r.
Pole czworokąta ???
-
roman_g
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 23 maja 2006, o 12:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock
- Podziękował: 2 razy
Pole czworokąta ???
Ponieważ czworokąt został wpisany w okrąg to sumy jego przeciwległych kątów są równe (wynoszą po 180 stopni), więc pozostałe kąty czworokąta mają kolejno miarę 105 stopni i 90 stopni. Pamiętamy również o tym, że każdy kąt prosty wpisany w okrąg jest oparty na średnicy tego okręgu.
Podzielmy "średnicą" nasz czworokąt na dwa trójkąty prostokątne i zajmijmy się najpierw tym trójkątem w którym znamy jedną z przyprostokątnych (\(\displaystyle{ r}\)). Przekątna jest średnicą, więc ma miarę \(\displaystyle{ 2r}\). Policzmy cosinus kąta \(\displaystyle{ \alpha}\), leżącego między przyprostokątna o długości \(\displaystyle{ r}\) i przeciwprostokątną:
\(\displaystyle{ cos\alpha = \frac{r}{2r}= \frac{1}{2}}\)
stąd dostajemy, że \(\displaystyle{ \alpha = 60}\).
Zatem drugi z kątów ostrych w tym trójkącie (\(\displaystyle{ \beta}\)) jest równy 30 stopni.
Z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość drugiej przyprostokątnej:
\(\displaystyle{ x^{2} + r^{2} = (2r)^{2}}\)
\(\displaystyle{ ...}\)
\(\displaystyle{ x=r \sqrt{3}}\)
Więc pole tego trójkąta wynosi
\(\displaystyle{ P=\frac{r r\sqrt{3}}{2}=\frac{r^{2} \sqrt{3}}{2}}\)
Zauważmy, że drugi z trójkątów jest równoramienny. Jego kąty ostre można policzyć w ten sposób:
\(\displaystyle{ 75-30=45}\)
\(\displaystyle{ 105-60=45}\)
Zatem jego pole wynosi:
\(\displaystyle{ P=\frac{2r r}{2}=r^{2}}\)
Sumując pola obu trójkątów dostajemy szukane pole czworokąta:
\(\displaystyle{ r^{2} (1+\frac{\sqrt{3}}{2})}\).
Podzielmy "średnicą" nasz czworokąt na dwa trójkąty prostokątne i zajmijmy się najpierw tym trójkątem w którym znamy jedną z przyprostokątnych (\(\displaystyle{ r}\)). Przekątna jest średnicą, więc ma miarę \(\displaystyle{ 2r}\). Policzmy cosinus kąta \(\displaystyle{ \alpha}\), leżącego między przyprostokątna o długości \(\displaystyle{ r}\) i przeciwprostokątną:
\(\displaystyle{ cos\alpha = \frac{r}{2r}= \frac{1}{2}}\)
stąd dostajemy, że \(\displaystyle{ \alpha = 60}\).
Zatem drugi z kątów ostrych w tym trójkącie (\(\displaystyle{ \beta}\)) jest równy 30 stopni.
Z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość drugiej przyprostokątnej:
\(\displaystyle{ x^{2} + r^{2} = (2r)^{2}}\)
\(\displaystyle{ ...}\)
\(\displaystyle{ x=r \sqrt{3}}\)
Więc pole tego trójkąta wynosi
\(\displaystyle{ P=\frac{r r\sqrt{3}}{2}=\frac{r^{2} \sqrt{3}}{2}}\)
Zauważmy, że drugi z trójkątów jest równoramienny. Jego kąty ostre można policzyć w ten sposób:
\(\displaystyle{ 75-30=45}\)
\(\displaystyle{ 105-60=45}\)
Zatem jego pole wynosi:
\(\displaystyle{ P=\frac{2r r}{2}=r^{2}}\)
Sumując pola obu trójkątów dostajemy szukane pole czworokąta:
\(\displaystyle{ r^{2} (1+\frac{\sqrt{3}}{2})}\).