Trójkąt równoramienny

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Kamil_dobry
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 146
Rejestracja: 28 paź 2007, o 12:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Piotrków Trybunalski
Podziękował: 50 razy

Trójkąt równoramienny

Post autor: Kamil_dobry »

W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 80, a ramię ma długość 41. D jest punktem przecięcia wysokości CK z dwusieczną kąta ABC. Obliczyć odległość punktu D od ramienia trójkąta ABC.
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Trójkąt równoramienny

Post autor: lukasz1804 »

Niech E będzie rzutem prostopadłym punktu D na bok BC, tzn. takim punktem, że odcinek DE jest prostopadły do boku BC. Zauważmy, że trójkąty BKD i BED są przystające, gdyż są prostokątne, mają wspólny bok BD, a kąty \(\displaystyle{ \angle DBK, \angle BED}\) są równe (bo prosta BD jest dwusieczną kąta B). Zatem w szczególności mamy \(\displaystyle{ |DK|=|DE|}\).
Trójkąt ABC możemy podzielić na 3 trójkąty AKC, BKD oraz BDC.
Z twierdzenia Pitagorasa dostajemy \(\displaystyle{ |CK|=\sqrt{41^2-40^2}=9}\).
Stąd i ze wzoru na pole trójkąta dostajemy \(\displaystyle{ \frac{80\cdot 9}{2}=P_{ABC}=P_{AKC}+P_{BKD}+P_{BDC}=\frac{40\cdot 9}{2}+\frac{40\cdot |DK|}{2}+\frac{41\cdot |DE|}{2}}\), więc wobec wykazanej równości \(\displaystyle{ |DK|=|DE|}\) dostajemy \(\displaystyle{ 360=180+20|DE|+20.5|DE|}\), czyli \(\displaystyle{ 40.5|DE|=180}\), więc \(\displaystyle{ |DE|=\frac{40}{9}}\).
Kamil_dobry
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 146
Rejestracja: 28 paź 2007, o 12:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Piotrków Trybunalski
Podziękował: 50 razy

Trójkąt równoramienny

Post autor: Kamil_dobry »

Dzięki za pomoc
ODPOWIEDZ