Okrąg podzielono odcinkami w stosunku 1:2:3:4. Czworokąt

[grzechu]

Od pewnego czasu nie mogę ruszyć zadania, które z pozoru wydaje sie dość proste - jednak w praniu, okazuje sie dość upierdliwe. jestem w stanie podać odpowiedź, nie spełnia ona jednak zalożen o nieobecności obliczeń dokonanych za pomoca kalkulatora. Jeżeli więc, ktoś ma ochotę spróbować, oto treść:

Okrąg został podzielony odcinkami, w stosunku 1:2:3:4. Następnie punkty wyznaczone przy podziale, zostały połączone w taki sposób, że utworzyły czworokąt. Oblicz pole tego czworokąta. W rozwiązaniu jednak, mogą występować jedynie wartości sinusow i cosinusów, znajdujące sie w tabelce trygonometrycznej (czyli te podstawowe wartości) tudzież kąty powinny się zredukować.

[olazola]

I to wszystko? A promień tego okręgu jest dany? Bo na chłopski rozum to im większy promień okęgu, tym większe pole takiego czworokąta.

[W_Zygmunt]

Jeśli tylko ktoś policzy takie wyrażenie
\(\displaystyle{ P_{ABCD}\,=\, \frac{192 \sqrt{(6)}}{385} r^2}\)
bez kalkulatora to podaję rozwiązanie.
Ponieważ
\(\displaystyle{ \beta+ \delta = 180^o}\)
to
\(\displaystyle{ \cos(\delta) = -\cos(\beta)}\)
\(\displaystyle{ \sin(\delta) = \sin(\beta)}\)

Stosując Tw. cosinusów w trójkącie ABC mamy
\(\displaystyle{ |AC|^2 \,=\, x^2+(2\cdot x)^2-2\cdot x\cdot 2\cdot x\cdot \cos(\beta)}\)
\(\displaystyle{ |AC|^2 \,=\,x^2\cdot (5-4\cdot \cos(\beta))}\)
natomiast w trójkącie CDA
\(\displaystyle{ |AC|^2 \,=\,(3\cdot x)^2+(4\cdot x)^2-2\cdot 3\cdot x\cdot 4\cdot x\cdot \cos(\delta)}\)
\(\displaystyle{ |AC|^2 \,=\,(3\cdot x)^2+(4\cdot x)^2+2\cdot 3\cdot x\cdot 4\cdot x\cdot \cos(\beta)}\)
\(\displaystyle{ |AC|^2 \,=\,x^2\cdot (24\cdot \cos(\beta)+25)}\)
porównujemy
\(\displaystyle{ x^2\cdot (24\cdot \cos(\beta)+25)\,=\,x^2\cdot (5-4\cdot \cos(\beta))}\)
\(\displaystyle{ \cos(\beta)\,=\,\frac{-5}{7}}\)
\(\displaystyle{ \sin(\beta)\,=\,\sqrt{(1-(\frac{-5}{7})^2)}}\)
\(\displaystyle{ \sin(\beta)\,=\,2\cdot \frac{\sqrt{6}}{7}}\)
\(\displaystyle{ |AC|^2 \,=\,x^2\cdot (5-4\cdot \cos(\beta))}\)
\(\displaystyle{ |AC|^2 \,=\,x^2\cdot (5-4\cdot (\frac{-5}{7}))}\)
\(\displaystyle{ |AC|^2 \,=\, \frac{55}{7}\cdot x^2}\)
Stosując Tw. sinusów do trójkąta ABC
\(\displaystyle{ \frac{|AC|}{\sin(\beta)}\,=\,2\cdot r}\)
\(\displaystyle{ |AC|^2 \,=\,4\cdot r^2\cdot (2\cdot \frac{\sqrt{6}}{7})^2}\)
\(\displaystyle{ |AC|^2\,=\,96\cdot \frac{r^2}{49}}\)
\(\displaystyle{ 55\cdot \frac{x^2}{7}\,=\,4\cdot r^2\cdot (2\cdot \frac{\sqrt{6}}{7})^2}\)
\(\displaystyle{ x^2\,=\,\frac{7}{55}\cdot (96\cdot \frac{r^2}{49})}\)
\(\displaystyle{ x^2\,=\,96\cdot \frac{r^2}{385}}\)
\(\displaystyle{ P_{ABC}\,=\,\frac{1}{2}\cdot x\cdot 2\cdot x\cdot \sin(\beta)}\)
\(\displaystyle{ P_{ABC}\,=\,\sin(\beta)\cdot x^2}\)
\(\displaystyle{ P_{ABC}\,=\,\sqrt{(1-(\frac{-5}{7})^2)}\cdot r^2\cdot \frac{96}{385}}\)
\(\displaystyle{ P_{ABC}\,=\,\frac{192\cdot \sqrt{(6)}}{2695} r^2}\)
\(\displaystyle{ P_{CDA}\,=\,\frac{1}{2}\cdot 3\cdot x\cdot 4\cdot x\cdot \sin(\beta)}\)
\(\displaystyle{ P_{CDA}\,=\,\frac{1}{2}\cdot 3\cdot x\cdot 4\cdot x\cdot (2\cdot \frac{\sqrt{6}}{7})}\)
\(\displaystyle{ P_{CDA}\,=\, \frac{12\cdot \sqrt{(6)}}{7} x^2}\)
\(\displaystyle{ P_{CDA}\,=\, \frac{12\cdot \sqrt{(6)}}{7} 96\cdot \frac{r^2}{385}}\)
\(\displaystyle{ P_{CDA}\,=\,192\cdot \sqrt{(6)}\cdot \frac{r^2}{2695}}\)

\(\displaystyle{ P_{ABC}+P_{CDA}\,=\,192\cdot \sqrt{(6)}\cdot \frac{r^2}{2695}+1152\cdot \sqrt{(6)}\cdot \frac{r^2}{2695}}\)
\(\displaystyle{ P_{ABCD}\,=\,\frac{192\cdot \sqrt{(6)}}{385}\cdot r^2}\)

PS. Zakładam, że mamy dany okrąg, czyli znany jest promień.
I jeszcze pytanie: Jeśli kąty się mają zredykować to od czego te sinusy?

[grzechu]

rzeczywiscie, dany jest promien okregu - jakzeby inaczej;)

najwyrazniej jednak nieprecyzyjnie sformulowalem najwazniejsza czesc tresci zadania, poniewaz okrag zostal podzielony w stosunku 1:2:3:4 (tzn luki wyznaczone punktami [A,B,C,D] maja sie tak do siebie), a nie odcinki wyznaczajace czworokat sa w takim stosunku. natomist z tego co mi wiadomo, nie istnieje twierdzenie w mysl ktorego, stosunek lukow byl rowny stosunkowi odcinkow, na tych lukach opartych (poprawcie mnie, jesli sie myle)...

na to zadanie potrzeba pomyslu, ktorego mi na chwile obecna brakuje. nie klopotalbym tegich glow, gdyby chodzilo jedynie o podstawianie do wzorow;)

[Rogal]

Jeżeli łuki mają się w takim stosunku, to przyjmując, że długość najmniejszego, to jest x, to drugi ma 2x, trzeci 3x, a czwarty 4x, czyli w sumie 10x. Teraz korzystamy z tw. o kącie środkowym koła, bo mamy podany łuk najmniejszy, który jest dziesięciokrotnie mniejszy od całego okręgu, a więc i kąt środkowy oparty na tym łuku, to jest 360:10, czyli 36. Podobnie wyznaczamy kolejne kąty i możemy znaleźć dzięki temu kąty tego czworokąta.

[grzechu]

owszem, nawet dwa katy sa proste. problem pojawia sie jednak w momencie obliczania pola tak danej figury (sa tutaj 4trojkaty rownoramienne, z tym, ze sin(72) jest ciezki do policzenia;). nie zawracalbym glowy banalami.

[Rogal]

sin72 jest trudny do policzenia? Skorzystaj z Kompendium, tam w Pitagorasie, we wzorach bodajże jest tabelka z wartościami i już. A jak koniecznie chcesz wyprowadzać, to pięciokąt foremny, itd.

[W_Zygmunt]

W takim przypadku mamy do czynienia z trójkątami o kątach,
które są wielokrotnościmi kąta \(\displaystyle{ 18^o}\).
Niestety ne znam sposobu by wyrazić je przez kąty "z tabelki",
(sądzę że chodzi o \(\displaystyle{ 30^o,\,45^o i 60^o}\)).

Spróbujmy wyliczyc wartość \(\displaystyle{ \sin(18^o)\"}\)
Wtym celu skorzystam z konstrukcji pentagramu
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=2517
Miara kąta PAB jest równa 18 stopni.
Oznaczmy współrzędne punktu P(x,y).
Przyjmuję długość |AB| = |AC|= 1, wtedy sin(

Pole czworokąta ABCD

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} r^2 (\sin{36^o}+sin{72^o}+sin{108^o}+sin{144^o}) = \\ =\frac{1}{2} r^2 (\sin{36^o}+\sin{72^o}+\sin{(180^o-72^o)}+sin{(180^o-36^o)}) = \\ =\frac{1}{2} r^2 2\cdot( \sin{36^o}+\sin{72^o}) = \\ = r^2 ( \sin{(2 18^o)}+\sin{(90^o-18^o)}) = \\ = r^2 (2\cdot \sin{18^o}\cdot \cos{18^o}+\cos{18^o}) = \\ = r^2 \cos{18^o} (2\cdot \sin{18^o}+1)= \\ = r^2 \sqrt{(1-\sin^2{18^o})} (2\cdot \sin{18^o}+1)= \\ = r^2 \sqrt{(\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{5}{4})}}\)