Wielokąty i okręgi.

[smarty]

1. Oblicz pole okręgu wpisanego w romb, którego bok wynosi 16 cm, a kąt ostry wynosi 45 stopni.

Moje obliczenia:
\(\displaystyle{ \frac{r}{a}}\)= sin 45
\(\displaystyle{ \frac{r}{16}}\)= \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\)
2r=16\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)
r=8\(\displaystyle{ \sqrt{2x}}\)
P= \(\displaystyle{ \pi}\)\(\displaystyle{ (8\sqrt{2})^{2}}\)
P= 128\(\displaystyle{ \pi}\)\(\displaystyle{ cm^{2}}\) ?

2. Średnica okręgu jest równa 6. Oblicz długosc cięciwy która należy do kąta środkowego o mierze 120 stopni.

Długosc cięciwy wyszła mi 3\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) ?

3. W trójkąt równoboczny o boku długości 6 wpisano 3 identyczne okręgi, styczne do siebie i boków trójkąta. Oblicz dlugosc jednego takiego okręgu.

Długosc okręgu z moich obliczeń- \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)\(\displaystyle{ \pi}\) ?

Nie jestem pewna swoich wyników i proszę kogoś o sprawdzenie i ewentualne poprawki. Mile widziane analizy.... (boję się poprosic xD). Z góry dziękuję.

[andkom]

1.
Powinno być \(\displaystyle{ \frac{2r}a=\sin45^\circ}\)

2.
Wynik jest dobry.

3.
Tu raczej całkiem źle. Promień każdego z okręgów ma długość \(\displaystyle{ \frac{3\sqrt3-3}2}\)

[smarty]

Hmmm... A mógłbyś mi 3 zad. rozpisac?? Byłabym baaardzo wdzięczna

[andkom]

Rozpisuje się długo. Napiszę tylko wskazówki.
Załóżmy, że nasz trójkąt ma bok o długości a (u nas a=6), a okręgi mają promień r.
Połącz odcinkami środki okręgów. Dostaniesz trójkąt równoboczny o boku 2r.
O ile dłuższe jest a od 2r? Jeśli dobrze przypatrzysz się obrazkowi, to zobaczysz, że jest dłuższe o dwukrotność odcinka \(\displaystyle{ r\text{\,ctg }30^\circ}\). Stąd
\(\displaystyle{ a=2r+2r\sqrt3}\)
czyli
\(\displaystyle{ r=\frac a{2+2\sqrt3}=a\frac{\sqrt3-1}4}\)
co w naszym przypadku jest równe \(\displaystyle{ \frac{3\sqrt3-3}2}\)

[smarty]

Dzięki za pomoc.