Obliczyć odległość między środkami przekątnych trapezu o podstawach a,b,a>b.
Próbowałem to zadanie robić z podobieństwa trojkątów, ale nie bardzo mi to wychodziło. Ma ktoś jakiś pomysł?
Próbna matura 2007. Trapez.
-
wb
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
Próbna matura 2007. Trapez.
\(\displaystyle{ d_1 \ \ , \ \ d_2}\) - przekątne,
\(\displaystyle{ x}\) - szukana odległość,
\(\displaystyle{ p \ \ , \ \ q}\) -długości odcinków, które uzupełniają x do odcinka łączącego środki ramion,
Z podobieństwa odpowiednich trójkątów:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{2}d_1 }{x+p}= \frac{d_1}{a} \frac{ \frac{1}{2} }{x+p}= \frac{1}{a} x+p= \frac{1}{2}a \\ \frac{ \frac{1}{2}d_2 }{x+q}= \frac{d_2}{a} \frac{ \frac{1}{2} }{x+q}= \frac{1}{a} x+q= \frac{1}{2}a}\)
Ponieważ odcinek łączący środki ramion ma długość:
\(\displaystyle{ p+x+q= \frac{a+b}{2}}\) więc:
\(\displaystyle{ x+x+p+q=a \\ x+ \frac{a+b}{2}=a \\ x= \frac{a-b}{2}}\)
\(\displaystyle{ x}\) - szukana odległość,
\(\displaystyle{ p \ \ , \ \ q}\) -długości odcinków, które uzupełniają x do odcinka łączącego środki ramion,
Z podobieństwa odpowiednich trójkątów:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{2}d_1 }{x+p}= \frac{d_1}{a} \frac{ \frac{1}{2} }{x+p}= \frac{1}{a} x+p= \frac{1}{2}a \\ \frac{ \frac{1}{2}d_2 }{x+q}= \frac{d_2}{a} \frac{ \frac{1}{2} }{x+q}= \frac{1}{a} x+q= \frac{1}{2}a}\)
Ponieważ odcinek łączący środki ramion ma długość:
\(\displaystyle{ p+x+q= \frac{a+b}{2}}\) więc:
\(\displaystyle{ x+x+p+q=a \\ x+ \frac{a+b}{2}=a \\ x= \frac{a-b}{2}}\)
Próbna matura 2007. Trapez.
Niestety nie wpadlem na to, ze odcinek laczacy srodki ramion to polowa sumy podstaw. Bez znajomosci tej wlasnosci nie mialem szans rozwiazac to zadanie.
Tymczasem dzieki za rozwiazanie.
Tymczasem dzieki za rozwiazanie.
-
LySy007
- Użytkownik
- Posty: 386
- Rejestracja: 1 kwie 2007, o 00:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z fotela
- Podziękował: 107 razy
- Pomógł: 3 razy
Próbna matura 2007. Trapez.
Chyba większości osób to zadanie sprawiło największy problem na próbnej maturze.
Ogólnie zadania były łatwe. Można było wygospodarować bardzo dużo czasu na to właśnie zadanie.
Ogólnie zadania były łatwe. Można było wygospodarować bardzo dużo czasu na to właśnie zadanie.
-
setch
- Użytkownik
- Posty: 1307
- Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bełchatów
- Podziękował: 155 razy
- Pomógł: 208 razy
Próbna matura 2007. Trapez.
Ja zrobiłem to inaczej. Narysowałem trapez ABCD i przekątna. Zaznaczyłem na nim jeszcze odpowiednie punkty oraz nazwałem odcinki
punkt O - przecięcie się przekątnych
M - środek przekątnej AC
N - środek przekątnej DB
x - odcinek łączący środki przekątnych
\(\displaystyle{ \begin{cases} \vec{AB}=\vec{AM}+\vec{MN}+\vec{NB} \\ \vec{DC}=\vec{DO}+\vec{OC} \end{cases}}\)
Ponadto
\(\displaystyle{ \begin{cases} \vec{MN}=\vec{MO}+\vec{ON} \\ \vec{AM}=\vec{MO}+\vec{OC}\\ \vec{NB}=\vec{DO}+\vec{ON} \end{cases}}\)
Wstawiając do pierwszego układu
\(\displaystyle{ +\begin{cases} \vec{AB}=\vec{MO}+\vec{OC}+\vec{DO}+\vec{ON}+\vec{MN} \\ -\vec{DC}=-\vec{DO}-\vec{OC} \end{cases} \\
\vec{AB}-\vec{DC}=\vec{MN}+\vec{MO}+\vec{ON} \\
\vec{AB}-\vec{DC}=2\vec{MN}\\
\vec{MN}=\frac{\vec{AB}-\vec{DC}}{2}}\)
Wracając do oznaczeń odcinków
\(\displaystyle{ x=\frac{a-b}{2}}\)
punkt O - przecięcie się przekątnych
M - środek przekątnej AC
N - środek przekątnej DB
x - odcinek łączący środki przekątnych
\(\displaystyle{ \begin{cases} \vec{AB}=\vec{AM}+\vec{MN}+\vec{NB} \\ \vec{DC}=\vec{DO}+\vec{OC} \end{cases}}\)
Ponadto
\(\displaystyle{ \begin{cases} \vec{MN}=\vec{MO}+\vec{ON} \\ \vec{AM}=\vec{MO}+\vec{OC}\\ \vec{NB}=\vec{DO}+\vec{ON} \end{cases}}\)
Wstawiając do pierwszego układu
\(\displaystyle{ +\begin{cases} \vec{AB}=\vec{MO}+\vec{OC}+\vec{DO}+\vec{ON}+\vec{MN} \\ -\vec{DC}=-\vec{DO}-\vec{OC} \end{cases} \\
\vec{AB}-\vec{DC}=\vec{MN}+\vec{MO}+\vec{ON} \\
\vec{AB}-\vec{DC}=2\vec{MN}\\
\vec{MN}=\frac{\vec{AB}-\vec{DC}}{2}}\)
Wracając do oznaczeń odcinków
\(\displaystyle{ x=\frac{a-b}{2}}\)