Kwadrat podzielono na dwa prostokąty...

[kluczyk]

Kwadrat podzielono na dwa prostokąty, których stosunek obwodów wynosi 5:4. Jaki jest stosunek pól tych prostokątów?

[Piotr Rutkowski]

Łatwo układasz równanie:
\(\displaystyle{ \frac{2(a+k)}{a+(a-k)}=\frac{5}{4}}\)
Po przekształceniach:
\(\displaystyle{ k=\frac{2}{3}a}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \frac{P_{1}}{P_{2}}=\frac{a*(\frac{2}{3}a)}{a*(1-\frac{2}{3})a}=2}\)

[sea_of_tears]

kwadrat ma bok \(\displaystyle{ a}\)
dzielimy go na dwa prostokąty,gdzie suma obwodów tych prostokątów jest równa \(\displaystyle{ 4a+2a=6a}\)
Wiemy, że stosunek obwodów wynosi \(\displaystyle{ \frac{5}{4}}\)
zatem pierwszy prostokąt to \(\displaystyle{ \frac{5}{9}}\) obwodu dwóch prostokątów czyli \(\displaystyle{ \frac{5}{9}\cdot 6a=\frac{30}{9}a}\)
drugi prostokąt ma obwód \(\displaystyle{ \frac{4}{9}\cdot 6a=\frac{24}{9}a}\)
zatem pierwszy prostokąt ma wymiary \(\displaystyle{ a\times \frac{2}{3}a}\)
drugi prostokąt ma wymiary \(\displaystyle{ a\times\frac{1}{3}a}\)
Stosunek pól :
\(\displaystyle{ \frac{\frac{2}{3}a^2}{\frac{1}{3}a^2}=2}\)

[Piotr Rutkowski]

Coś jest jednak nie tak. Choćby z tego powodu, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{9}a+\frac{7}{18}a=\frac{1}{2}a}\), a powinno się sumować do a
Iluzja tkwi tu:
"Suma obwodów 2 prostokątów wynosi \(\displaystyle{ 4a+a=5a}\)"

[wb]

a - bok kwadratu,
x - bok prostokąta,

\(\displaystyle{ \frac{2a+2x}{2a+2(a-x)}= \frac{5}{4} \\ \frac{a+x}{2a-x}= \frac{5}{4} \\ ... \\ a= \frac{3}{2}x \\ \\ \frac{ax}{a(a-x)}= \frac{x}{a-x}= \frac{x}{ \frac{3}{2}x-x }= \frac{x}{ \frac{1}{2}x }=2}\)

[sea_of_tears]

Coś jest jednak nie tak. Choćby z tego powodu, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{9}a+\frac{7}{18}a=\frac{1}{2}a}\), a powinno się sumować do a
Iluzja tkwi tu:
"Suma obwodów 2 prostokątów wynosi \(\displaystyle{ 4a+a=5a}\)"

no tak, zamiast 6 napisałam 5, teraz już jest wszystko ok
tak to jest jak człowiek zbyt szybko myśli i pisze