Oblicz trzema sposobami...{Trapez}

[Franio]

Wiedząc, że podstawy trapezu równoramiennego mają długości 20 i 24, zaś długość jego wysokości wynosi 22. Oblicz trzema sposobami długość promienia okręgu opisanego na tym trapezie.

[Lady Tilly]

Ponieważ środek okręgu opisanego na trapezie jest w punkcie przecięcia się symetralnych wyznaczamy odległość przecięcia symetralnych od wierzchołka trapezu i otrzymujemy promień okręgu opisanego.

[Franio]

No niestety, ale nie wiem za bardzo o czym do mnie mówisz, więc prosiłbym o prostszy sposób wytłumaczenia

[Symetralna]

1 sposób

x- dł ramienia
y- długość przekątnej trapezu

Promień okręgu opisanego na tym trapezie jest jednocześnie promieniem okręgu opisanego na trójkącie, którego bokami są: podstawa o dł. 24, ramię i przekątna.
Obliczę pole tego trójkąta, a następnie skorzystam ze wzoru na pole trójkąta, gdzie występuje R ( \(\displaystyle{ P= \frac{ a*b*c}{4R}}\) )

\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} 24*22= 264}\)

Aby skorzystać z powyższego wzoru muszę obliczyć pozostałe długości boków tego trójkąta.
Z Pitagorasa mamy:
\(\displaystyle{ 2^{2} + 22^{2} = x^{2}}\)
\(\displaystyle{ x= 2 \sqrt{122}}\)

y zas jest przeciwprostokątną w trójkącie równoramiennym prostokątnym o ramionach 22 więc

\(\displaystyle{ y= 22 \sqrt{2}}\)

Ostatecznie:
\(\displaystyle{ 264= \frac{24*22 \sqrt{2} * 2 \sqrt{122} }{4R}}\)
\(\displaystyle{ R= 2 \sqrt{61}}\)

2 sposób
Z tw. sinusów
Bierzemy pod uwagę ten sam trójkąt co poprzednio. Jeden z jego kątów ma 45 stopni. Bok na przeciwko niego ma długość
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{122}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin\alpha} = 2R}\)

\(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{122} }{\sin45} =2R}\)

\(\displaystyle{ R= 2 \sqrt{61}}\)

3 sposób
Rysujemy 4 promienie (do każdego wierzchołka trapezu).
Bierzemy pod uwagę dwa trójkąty równoramienne, których podstawami są podstway trapezu. Oznaczamy przez h wysokośc jednego z nich i przez 22-h wysokośc drugiego.
Korzystamy dwa razy z tw. Pitagorasa. Rozwiązujemy układ równań i mamy R