Czworokąt wypukły - udowodnij, że...

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
blondii1910
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 5 lis 2007, o 16:24
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kutno
Podziękował: 5 razy

Czworokąt wypukły - udowodnij, że...

Post autor: blondii1910 »

Udowodnj, ze suma długosci przekątnych dowolnego czworokąta wypukłego jest mniejsza od obwodu tego czworokąta.
Ostatnio zmieniony 1 gru 2007, o 14:28 przez blondii1910, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
Szemek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4819
Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 1407 razy

Czworokąt wypukły - udowodnij, że...

Post autor: Szemek »

Oznaczmy w czworokącie cztery kolejne boki:
\(\displaystyle{ a, b, c, d > 0}\)
oraz przekątne \(\displaystyle{ e,f >0}\)

przekątna e musi spełniać warunek istnienia trójkąta
\(\displaystyle{ |a-b|< e < a+b}\)
\(\displaystyle{ |c-d| < e < c+d}\)
Zatem spełniona jest także nierówność:
\(\displaystyle{ |a-b|+|c-d| < 2e < a+b+c+d}\)
\(\displaystyle{ |a-b|+|c-d| < e < \frac{a+b+c+d}{2}}\)

przekątna f musi spełniać warunek istnienia trójkąta
\(\displaystyle{ |a-d| < f < a+d}\)
\(\displaystyle{ |b-c| < f < b+c}\)
\(\displaystyle{ |a-d|+|b-c| < 2f < a+b+c+d}\)
\(\displaystyle{ |a-d|+|b-c| < f < \frac{a+b+c+d}{2}}\)

Prawdziwa jest także nierówność:
\(\displaystyle{ e+f}\)
ODPOWIEDZ