czworokąt wpisany w okrg

[robin5hood]

W okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 7}\) wpisano czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\). Oblicz obwód i pole tego czworokąta, wiedząc, że \(\displaystyle{ |AB|=|BC|}\), \(\displaystyle{ \angle ADC=120}\) oraz, że stosunek pola trójkąta \(\displaystyle{ ABD}\) do pola trójkąta \(\displaystyle{ BCD}\) wynosi \(\displaystyle{ 2:1}\)

[Symetralna]

\(\displaystyle{ \left|AB \right| = x}\)
\(\displaystyle{ \left| BC\right| =x}\)
\(\displaystyle{ \left| BD\right| =y}\)
\(\displaystyle{ \left|CD \right| =a}\)
\(\displaystyle{ \left|DA \right| =b}\)
\(\displaystyle{ \left| DBC \right| = }\)

Po pierwsze: \(\displaystyle{ \left| ABC \right| = 60}\), bo w czworokącie, na którym da sie opisac okrąg suma przeciwległych kątów wynosi 180.
Trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym i ma miedzy ramionami kąt o mierze 60 st, czyli jest trójkątem równobocznym (więc \(\displaystyle{ \left| AC\right| =x}\) )

Korzytam z informacji o stosunku pól trójkątów:

\(\displaystyle{ 2* \frac{1}{2} x*y* \sin\alpha = \frac{1}{2} x*y* \sin ft(60- ) \right)}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ \cos\alpha = \frac{ 5 \sqrt{7} }{14}}\)
\(\displaystyle{ \sin\alpha= \frac{ \sqrt{21} }{14}}\)

Trójkąt BCD jest wpisany w okrąg o promieniu 7, więc na mocy tw. sinusów:

\(\displaystyle{ \frac{ a}{ \sin\alpha} = 2*7}\)

\(\displaystyle{ a= \sqrt{21}}\)

Również trójkąt ABD jest wpisany w okrąg o promieniu 7, więc:

\(\displaystyle{ \frac{b}{ \sin (60- )} = 2*7}\)

\(\displaystyle{ b= 2 \sqrt{21}}\)

Biorę teraz pod uwagę trójkąt ACD i korzystam z tw. cosinusów:

\(\displaystyle{ x^{2} = a^{2} + b^{2} - 2*a*b * \cos120}\)

\(\displaystyle{ x= 7 \sqrt{3}}\)

Obw= \(\displaystyle{ x+x+a+b= 14 \sqrt{3} + 3 \sqrt{21}}\)

\(\displaystyle{ P = \frac{ x^{2} \sqrt{3} }{4 } + \frac{1}{2} a*b* \sin 120}\)

\(\displaystyle{ P= \frac{189 \sqrt{3} }{4}}\)

Mam nadzieję, że w obliczeniach sie nie pomyliłam (co sie mogło zdarzyć )