Okrąg opisany i wpisany w trójkąt prostokątny

[wigrus]

Mam zadanko, niby się uporałem z nim, ale nie wiem czy dobrze.
A więc tak:
1. Oblicz promień okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt prostokątny o kącie ostrym 45 st. i jednym z boków 10 cm.
I tu trzeba 2 możliwości rozpatrzyć.
I ja to zrobiłem tak:
a) przyprostokątna 10 cm: narysowałem dwusieczne co dało mi 2 trójkąty takie same.
Obliczyłem przeciwprostokątną wyszło 10\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) czyli połowa to 5\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\).
I taki też promień opisany.
Zaś promień wpisany to wg mnie wyszedł \(\displaystyle{ \frac{5}{3}}\)\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\).
Jak jest źle to proszę poprawić.
Do wariantu b, gdzie przeciwprostokątna ma 10cm to przyprostokątne mają 5 \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)
R=5
r= \(\displaystyle{ \frac{5}{3}}\) ??
CO mnie zastanawia to liczenie promienia wpisanego w trójkąt, dobrze ja to liczę
r=\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)h ??

[Lady Tilly]

Zaś promień wpisany to wg mnie wyszedł \(\displaystyle{ \frac{5}{3}\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ r=\frac{20-10\sqrt{2}}{2}=10-5\sqrt{2}}\)
podobnie też w drugim przypadku korzystasz ze wzoru
\(\displaystyle{ r=\frac{a+b-c}{2}}\)

[andkom]

Jeśli chodzi o promień okręgu opisanego, to jest O.K.
Jeśli zaś chodzi o promień okręgu wpisanego, to Twoje wątpliwości są uzasadnione.
Proponuję (tak będzie chyba najszybciej) skorzystać z tego, że pole trójkąta (a nawet dowolnego wielokąta opisanego na okręgu) jest równe iloczynowi promienia okręgu wpisanego w trójkąt (wielokąt) i połowy obwodu tego trójkąta (wielokąta).
W przypadku przyprostokątnej o długości 10 dostajemy:
\(\displaystyle{ r=\frac{\frac{10\cdot10}2}{\frac{10+10+10\sqrt2}2}=10-5\sqrt2}\)

[wigrus]

Dzięki Wam bardzo
mam nadzieje, że jutro nie będzie porażki
Pozdrawiam