Pole trapezu i pole trójkąta, promień okręgu

Pablo09 · Post autor: **Pablo09** » 7 lis 2007, o 21:09

Mam problem z następującymi zadaniami :.

.W trapezie ABCD połączono środek ramienia BC z wierzchołkami A i D. Udowodnij, że pole trójkąta AED jest równe połowie pola trapezu.

. W okręgu poprowadzono średnice AB i równoległa do niej cięciwe DC; AC=12, AD=5. Oblicz promień okręgu.

Prosze o pomoc, z góry dziekuje

snm · Post autor: **snm** » 7 lis 2007, o 23:41

1. \(\displaystyle{ P_{ABCD}= (|AB|+|CD|) * h * \frac{1}{2}}\)
zauważamy, że punkt E dzieli wysokość trapezu na połowy
\(\displaystyle{ P_{DCE} + P_{AEB} + frac{1}{2} *|AB|* \frac{1}{2} h+ \frac{1}{2} *|CD|*\frac{1}{2} h= \frac{1}{4}*h (|AB|+|CD|)
P_{DEA}=P_{ABCD} - P_{DCE} - P_{AEB}=(|AB|+|CD|) * h * \frac{1}{2} -\frac{1}{4}*h (|AB|+|CD|)=\frac{1}{4}*h (|AB|+|CD|)=\frac{1}{2}(|AB|+|CD|) * h * \frac{1}{2}=\frac{1}{2}*P_{ABCD}}\)cbdu

2. Otrzymujemy trapez (równoległe podstawy) ABCD. Jest to trapez równoramienny (dlaczego?), zatem ramiona są równe , czyli \(\displaystyle{ |CD|=5}\). Jak powiedział Tales, trójkąt opisany na półokręgu (stworzony na średnicy) jest prostokątny, zatem z tw. Pitagorasa \(\displaystyle{ |AB|^{2}=|AC|^{2}+|CB|^{2}
|AB|^{2}=144+25
|AB|^{2}=169
|AB|=13=2r
r=7,5}\)

Pablo09 · Post autor: **Pablo09** » 8 lis 2007, o 08:25

Dzięki Snm, rzeczywiscie, nawet nie pomyslełem, ze to bedzie trójkąt prostokątny. Jednak dalej nie rozumiem w jaki sposób rozwiązałeś zadanie 1. Czy da się je zrobić korzystając z wiadomosci z gimnazjum? Jak teraz patrze na rozwiązanie to kojarze, że robiłem podobnie, jednak nie doończyłem (unzałem, że napewno mam coś źle ).

snm · Post autor: **snm** » 8 lis 2007, o 21:25

Trochę mi się pomyliło z LaTeXem, generalnie wygląda to tak
mamy dany trapez ABCD
pole szukanego trójkąta to pole trapezu minus pole dwóch trójkątów - ABE i DCE
E jest środkiem ramienia, zatem również środkiem wysokości trapezu i każdy z trójkątów ma wysokość równą połowie wysokości trapezu
Pole trapezu wynosi \(\displaystyle{ (AB+CD)* \frac{1}{2} *h}\), a suma pól trójkątów \(\displaystyle{ AB* \frac{1}{2}*\frac{1}{2} h+CD*\frac{1}{2} *\frac{1}{2} h=(AB+CD)*\frac{1}{2} *\frac{1}{2} h=(AB+CD)*\frac{1}{4}*h}\)
Zatem suma pól tych dwóch trójkątów jest równa połowie pola trapezu (widzisz?), czyli pozostała część, trójkąt AED też ma pole równe połowie pola trapezu

Sam jestem w gimnazjum i korzystam w tym wypadku tylko z wiadomości z podstawówki - pole trójkąta i trapezu. No, może troche gimnazjum (podobieństwo)