ZADANIA TESTOWE - Różne figury wpisane w okrąg.

[miniQ]

W tych pytaniach, może być poprawnych kilka odpowiedzi. Wiem, że niektóre są banalne, ale proszę nie o same odpowiedzi, lecz o przejrzyste rozwiązanie, uzasadniające dlaczego akurat dana/e odpowiedź/i są poprawne. Będę wdzięczny. Pozdrawiam i z góry dziękuje.

1) Na okręgu leżą czterypunkty \(\displaystyle{ A, B, C, D}\). Punkty te wyznaczają końce łuków na tym okręgu. Wszystkich tych łuków (o różnych końcach) jest:

a) \(\displaystyle{ 6}\)
b) \(\displaystyle{ 8}\)
c) \(\displaystyle{ 12}\)

2) Dany jest okrąg \(\displaystyle{ o(A,6)}\). Odległość punktu \(\displaystyle{ A}\) od prostej \(\displaystyle{ l}\) wynosi \(\displaystyle{ d(A,l)=|2a-4|}\). Zatem:

a) jeśli \(\displaystyle{ a=5}\), to prosta \(\displaystyle{ l}\) jest styczna do okręgu \(\displaystyle{ o(A,6)}\)
b) jeśli prosta \(\displaystyle{ l}\) jest rozłączna z okręgiem, to \(\displaystyle{ a>5}\)
c) jeśli prosta \(\displaystyle{ l}\) jest styczna do okręgu \(\displaystyle{ o(A,6)}\), to \(\displaystyle{ a=5}\) lub \(\displaystyle{ a=-1}\)

3) Jeden okrąg zaczyna toczyć się (bez poślizgu) po drugim, identycznym (nieruchomym) okręgu. Ile obrotów musi wykonać, aby znaleźć się ponownie w punkcie startu.

a) \(\displaystyle{ 1}\)
b) \(\displaystyle{ 2}\)
c) \(\displaystyle{ 3}\)

4) Do dwóch okręgów \(\displaystyle{ o(O_{1},r_{1})}\) i \(\displaystyle{ o(O_{2},r_{2})}\) można poprowadzić tylko trzy wspólne styczne. Z tego wynika, że:

a) okręgi te się przecinają;
b) okręgi te są styczne zewnętrznnie;
c) \(\displaystyle{ |O_{1}O_{2}|=r_{1}+r_{2}}\)

5) Z punktu P poprowadzonodwie styczne do okręgu \(\displaystyle{ o(O,r)}\). Niech \(\displaystyle{ A \ i \ B}\) oznaczają punkty styczności. Zatem:

a) \(\displaystyle{ |PO|>r}\)
b) czworokąt \(\displaystyle{ PAOB}\) można wpisać w okrąg
c) czworokąt \(\displaystyle{ PAOB}\) można opisać na okręgu

6) W trapezie równoramiennym wysokośc ma \(\displaystyle{ 5cm}\) długości, a suma długości podstaw jest równa \(\displaystyle{ 24cm}\). Pzekątna tego trapezu ma długość:

a) \(\displaystyle{ \sqrt{119}cm}\)
b) \(\displaystyle{ 12cm}\)
c) \(\displaystyle{ 13cm}\)

7) Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości \(\displaystyle{ 15cm \ i \ 8cm}\) ma długość:

a) wyrażającą się liczbą niewymierną;
b) \(\displaystyle{ 3cm}\)
c) \(\displaystyle{ 3\sqrt{2}cm}\)

8) W trapezie \(\displaystyle{ ABCD}\) mamy dane \(\displaystyle{ |AD|=|DC|=|CB|=8cm}\). Wtedy

a) przekątna \(\displaystyle{ AC}\) zawiera się w dwusiecznej \(\displaystyle{ \sphericalangle DAB}\)
b) \(\displaystyle{ |AB|=16cm}\)
c) trapez \(\displaystyle{ ABCD}\) można wpisać w okrąg.

9) ----

10) W trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) wpisano okrąg; \(\displaystyle{ |AB|=18cm, \ |BC|=16cm, \ |AC|14cm}\). Punkt styczności okręgu i odcinka AB oznaczmy przez D. Zatem:

a) \(\displaystyle{ |AD|:|DB|=4:5}\)
b) \(\displaystyle{ |DB|:|AD|=4:5}\)
c) \(\displaystyle{ |AD|=6cm}\)

11) Na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) opisano okrąg \(\displaystyle{ o(O,r)}\) i wówczas okazało się, że \(\displaystyle{ O\in BC}\) Zatem:

a) \(\displaystyle{ \sphericalangle ACB|=90stopni}\)
b) \(\displaystyle{ |AC|^{2}+|BC|^{2}=|AB|^{2}}\)
c) trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest trójkątem prostokątnym.

12) Dane są dwa okręgi \(\displaystyle{ o(O_{1},r_{1}) \ i \ o(O_{2},r_{2})}\). Z odcinków o długościach: \(\displaystyle{ |O_{1}O_{2}|,r_{1},r_{2}}\) można zbudować trójkąt. Z tego wynika, że:

a) okręgi te są styczne wewnętrznie;
b) okręgi te się przecinają;
c) jest za mało danych, aby określić wzajemne położenie okręgów.

13) W okręgu dany jest kąt środkowy \(\displaystyle{ AOB}\) i kąt wpisany \(\displaystyle{ ACB}\) takie, że \(\displaystyle{ |\sphericalangle AOB|=|\sphericalangle ACB|}\)

a) Taki przypadek jest możliwy tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ |\sphericalangle AOB|=0stopni}\)
b) Jest to możliwe wtedy, gdy \(\displaystyle{ |\sphericalangle AOB|=120stopni}\)
c) Jest to możliwe wtedy, gdy \(\displaystyle{ |\sphericalangle AOB|=240stopni}\)

14) W trapez \(\displaystyle{ ABCD}\) można wpisać okrąg. Długość odcinka łączącego środki ramion tego trapezu jest o 21cm krótsza od obwodu trapezu. Z tego wynika, że obwód trapezu \(\displaystyle{ ABCD}\) wynosi:

a) \(\displaystyle{ 28cm}\)
b) \(\displaystyle{ 30cm}\)
c) \(\displaystyle{ 32cm}\)

15) Łącząc kolejne środki boków czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\), otrzymaliśmy prostokąt, więc:

a) czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest rombem
b) przekątne czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) są prostopadłe
c) czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) może być trapezoidem

16) Łącząckolejne środki boków czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\), otrzymaliśmy kwadrat. Zatem:

a) czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest kwadratem
b) przekątne czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) są równej długości
c) na czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) można opisać okrąg.

17) Trapez \(\displaystyle{ ABCD}\) \(\displaystyle{ (AB, \ CD \ - \ podstawy)}\) jest wpisany w okrąg. Wówczas:

a) \(\displaystyle{ |AD|=|BC|}\)
b) \(\displaystyle{ |\sphericalangle A|=|\sphericalangle B|}\)
c) \(\displaystyle{ |AB|+|CD|=|AD|+|BC|}\)

18) Równoległobok \(\displaystyle{ ABCD}\) jest wpisany w okrąg. Wówczas:

a) \(\displaystyle{ |AC|=|BC|}\)
b) \(\displaystyle{ ABCD}\) jest kwadratem
c) \(\displaystyle{ ABCD}\) jest prostokątem

19) Trapez \(\displaystyle{ ABCD \ (AB, \ CD \ - \ podstawy)}\) jest opisany na okręgu. Wówczas:

a) \(\displaystyle{ |AD|=|BC|}\)
b) \(\displaystyle{ |\sphericalangle A|=|\sphericalangle B|}\)
c) \(\displaystyle{ |AB|+|CD|=|AD|+|BC|}\)

20) Równoległobok \(\displaystyle{ ABCD}\) jest opisany na okręgu. Zatem:

a) \(\displaystyle{ \Delta ACD}\) jest równoramienny
b) \(\displaystyle{ |AC|=|DB|}\)
c) \(\displaystyle{ AC\perp DB}\)

[pe2de2]

1) c [4 do najbliższego pkt, 4 do drugiego pkt i 4 do 3 pkt]

3) a,b,c jeśli okręgi są takie same t ich obwody są równe każda całkowita ilośc obrotów sprawi że okrąg wróci do pkt wyjścia

[ Dodano: 5 Listopada 2007, 13:44 ]
4) b i c (te stwierdzenia są równoważne)

5) a i b

7)a

8) wszsytkie mozłiwe ale nie koniecznie, jeśli czwarty bok też damy 8 to mamy kwadrat, ale druga podstawa też moze być 16 a moze być tak że nic sie nie będzie zgadzać, zależy jaki się przyjmie czwart bok

[Lady Tilly]

20)
a) oraz c)
tym równoległobokiem może być romb lub kwadrat

[miniQ]

bardzo dziękuje za odpowiedzi, ale będę wdzięczny za napisanie, z jakiego powodu właśnie ta odpowiedź jest poprawna. [samo rozwiązanie testu posiadam - ale chce zrozumieć zadania]

[pe2de2]

generalnie rzecz biorąc nie za bardzo jest tu co tłumaczyć, narysuj sobie poszczególne przypadki i wszystko widać.

weźmy na przykład zad 1 rysujesz okrąg i zaznaczasz ni nim 4 punkty a potem próbujesz ile jest możliwości, na upartego można by sie pobawić w kombinatorykę ale po co sobie życie utrudniać.

3. myślę że juz wytłumaczyłem

4. po prostu sobie to narysuj i popatrz przez chwile na rysunek, to samo z piątym

7.narusuj popatrz, jak nic nie widzisz to podpowiem że chodzi tu o podobieństwo trójkątów

no i generalnie na tym polega większość zadań, naryuj i popatrz na to co narysowałeś, nie ma co sie męczyć i próbować liczyć bez rysunku, bo wiele rzeczy widać na pierwszy rzut oka.