Udowodnij...

[Szemek]

Dana jest płaszczyzna, a na niej skończona liczba punktów.
Udowodnij, że dla skończonej liczby punktów można wyznaczyć taki punkt, dla którego odległości pomiędzy tym wyznaczonym punktem a danymi punktami będą różne ???

[andkom]

Odległości punktu \(\displaystyle{ X}\) od danych punktów \(\displaystyle{ A_1, A_2,\ldots,A_n}\) są różne wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ X}\) nie leży na symetralnej żadnego z odcinków \(\displaystyle{ \overline{A_iA_j}}\) dla \(\displaystyle{ i\ne j}\) (symetralnych tych jest skończenie wiele). Aby pokazać, że taki punkt \(\displaystyle{ X}\) istnieje, wystarczy pokazać, że skończona liczba prostych nie wypełnia szczelnie płaszczyzny. W tym celu rozważmy dowolną prostą (oznaczmy ją \(\displaystyle{ l}\)), która nie jest równoległa do żadnej z rozważanych prostych (taka prosta istnieje, bo rozważanych prostych jest tylko skończenie wiele). Prosta \(\displaystyle{ l}\) przecina każdą a rozważanych skończenie wielu prostych tylko w jednym punkcie, a ponieważ sama zawiera nieskończenie wiele punktów, więc nieskończenie wiele z tych punktów nie należy do żadnej z rozważanych prostych (czyli symetralnych odcinków \(\displaystyle{ \overline{A_iA_j}}\)).

[Szemek]

dzięki za dowód