kwadrat
: 27 paź 2007, o 16:12
Dany kwadrat ABCD, punkt E jest srodkiem boka AD, punkt E jest zlaczony z takim punktem F (punkt F jest punktem przekatnej AC), ze AF:FC=3 Udowodnij, ze proste EF i FB sa prostopadle
a - długość boku kwadratu,
\(\displaystyle{ EB^2=a^2+\frac{a^2}{4} \\ AC=a\sqrt2 FC=\frac{a\sqrt2}{4} \ \ , \ \ AF=\frac{3a\sqrt2}{4}}\)
Z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ EB^2=a^2+(\frac{a\sqrt2}{4})^2-2\cdot a\cdot \frac{a\sqrt2}{4}\cdot cos45^0 \\ \\ EF^2=(\frac{a}{2})^2+(\frac{3a\sqrt2}{4})^2-2\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{3a\sqrt2}{4}\cdot cos45^0}\)
Łatwo przeliczyć, że spełnione są założenia tw. odwrotnego do tw. Pitagorasa (EB�=EF�+FB�), więc odcinki EF oraz FB sa prostopadłe.