Matematyka.pl

Udowodnij, że pole równoległoboku o przekątnych d1,d2 jest równe 1/2*d1*d2*sin(alfa), gdzie alfa jest kątem między przekątnymi.

Bardzo proszę o pomoc:)

Przekatne równoległoboku przecinają się w połowie. Niech dłuższy bok ma długość a zaś krótszy b. Równoległobok składa sie z 4 trójkątów parami podobnych. jedna para trójkątów ma boki długości \(\displaystyle{ a,\frac{1}{2}d_{1},\frac{1}{2}d_{2}}\) druga zaś para trójkatów - każdy z nich ma boki \(\displaystyle{ b,\frac{1}{2}d_{1},\frac{1}{2}d_{2}}\)
Przekątne przecinają się pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) - kąt ostry i pod kątem \(\displaystyle{ 180^{o}-\alpha}\)
pole jednego trójkąta z pierszej pary ma pole \(\displaystyle{ P_{1}=\frac{1}{2}{\cdot}\frac{1}{2}d_{1}d_{2}sin(180^{o}-\alpha)=\frac{1}{2}{\cdot}\frac{1}{2}d_{1}d_{2}sin\alpha}\)

No dobrze ale co dalej?
nie bardzo tez wiem skad wzielo się to : \(\displaystyle{ 180^{o}-\alpha}\)

Treść zadania można rozszerzyć do każdego czworokąta wypukłego. W każdym czworokącie wypukłym przekątne \(\displaystyle{ d_{1}}\) i \(\displaystyle{ d_{2}}\) przecinają się pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\), dzieląc się przy tym na odcinki o długościach:
przekątna \(\displaystyle{ d_{1}}\) na odcinki \(\displaystyle{ m}\) oraz \(\displaystyle{ d_{1}-m}\)
przekątna \(\displaystyle{ d_{2}}\) na odcinki \(\displaystyle{ n}\) oraz \(\displaystyle{ d_{2}-n}\),
dzieląc nam tym samym czworokąt na cztery trójkąty.
Stosujemy wzór na pole trójkąta, równe połowie iloczynu dwóch boków i sinusa kąta między nimi, i obliczamy pola wszystkich czterech trójkątów. Dodając te pola otrzymamy wzór, którego prawdziwość należało udowodnić.

Zatem:
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}*(d_{1}-m)*(d_2-n)*sin +\frac{1}{2}*(d_{1}-m)*(n)*sin (\pi-\alpha)+\frac{1}{2}*(m)*(n)*sin +\frac{1}{2}*(m)*(d_2-n)*sin (\pi-\alpha)}\)

gdzie P jest polem czworokąta.