okręgi dopisane

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
anxerx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 6 lut 2022, o 23:56
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 4 razy

okręgi dopisane

Post autor: anxerx »

Witam, potrzebuję pomocy w rozwiązaniu poniższego zadania.

Mamy dwie półproste mające początek w \(\displaystyle{ A}\) oraz dwie proste równoległe przecinające te dwie półproste w punktach \(\displaystyle{ B, C}\) i \(\displaystyle{ D, E}\), tak że utworzyły nam się dwa trójkąty \(\displaystyle{ A, B, C}\) i \(\displaystyle{ A, D, E}\), gdzie \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AD}\) leżą na jednej półprostej oraz \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ AE}\) leżą na jednej półprostej.
Udowodnij, że punkt \(\displaystyle{ C}\) i punkty styków okręgów dopisanych na trójkątach \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ ADE}\) z prostymi \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ DE}\) leżą na jednej prostej.

Na 95% wydaje mi się, że to prawda, a potrzebuję tego faktu/twierdzenie do zakończenia innego zadania, więc proszę o pomoc.
Ostatnio zmieniony 12 sie 2022, o 10:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli matematycznych.
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 40
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 41 razy

Re: okręgi dopisane

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

W treści nie widzę informacji, do których boków trójkątów dopisujesz okręgi. Poza tym coś jest namieszane. Raczej punkt \(A\) (nie \(C\)) ma być współliniowy z punktami styczności okręgów dopisanych. Dowód jest natychmiastowy z wykorzystaniem jednokładności względem punktu \(A\).
anxerx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 6 lut 2022, o 23:56
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 4 razy

Re: okręgi dopisane

Post autor: anxerx »

Tak, tak. Chodzi o okręgi dopisane do trójkątów \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ ADE}\) oraz o punkt \(\displaystyle{ A}\).

Ale jednokładności jeszcze nie miałem, a czy wiesz może jak zrobić to bez jednokładności?
Ostatnio zmieniony 12 sie 2022, o 14:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 40
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 41 razy

Re: okręgi dopisane

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

anxerx pisze: 12 sie 2022, o 14:17 Tak, tak. Chodzi o okręgi dopisane do trójkątów \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ ADE}\) oraz o punkt \(\displaystyle{ A}\).
Każdy trójkąt ma trzy okręgi dopisane. Zakładam że chodzi o trójkąty dopisane do boków \(BC\) i \(DE\) trójkątów \(ABC\) i \(ADE\).
anxerx pisze: 12 sie 2022, o 14:17 Ale jednokładności jeszcze nie miałem, a czy wiesz może jak zrobić to bez jednokładności?
Zatem trzeba zrobić jednokładność bez użycia tego słowa. A czy można użyć podobieństwa (które jest w tym wypadku jednokładnością, ale możemy tę nazwę pominąć)? Czy widzisz, że trójkąty \(ABC\) i \(ADE\) są podobne?
anxerx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 6 lut 2022, o 23:56
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 4 razy

Re: okręgi dopisane

Post autor: anxerx »

tak widzę
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 40
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 41 razy

Re: okręgi dopisane

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

Dobrze, czyli istnieje pewne podobieństwo \(f\) (czyli takie przekształcenie płaszczyzny, że \(|f(X)f(Y)|=k\cdot|XY|\) dla dowolnych punktów \(X, Y\), gdzie \(k\) jest skalą podobieństwa), które spełnia: \(f(A)=A, f(B)=D, f(C)=E\). Czy jasne jest, że podobieństwo przekształca prostą na prostą, okrąg na okrąg, dwusieczną kąta na dwusieczną kąta? W szczególności odpowiednie dwusieczne kątów zewnętrznych w trójkącie \(ABC\) zostaną przekształcone na odpowiadające im dwusieczne kątów zewnętrznych trójkąta \(ADE\). Dalej, punkt przecięcia dwusiecznych, czyli środek jednego z okręgów dopisanych przejdzie na środek okręgu dopisanego do drugiego trójkąta, itd. itd.
anxerx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 6 lut 2022, o 23:56
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 4 razy

Re: okręgi dopisane

Post autor: anxerx »

Ok dzięki, już rozumiem
ODPOWIEDZ