Trójkąt w okręgu i kąt - jak obliczyć

[rvsh]

Dzień dobry

Potrzebuję obliczyć długość l oraz m.
Znane są wartości oznaczone na zielono (a,r,b, kąt alfa)
Prośba o pomoc.

Z góry dziękuję

[matmatmm]

Czy niebieski punkt jest środkiem okręgu? Oznaczenie \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ p}\) sugeruje, że mogłoby być inaczej.

Jeśli rzeczywiście jest to środek, to moja propozycja to wprowadzić układ współrzędnych o tym środku. Zadanie sprowadza się wtedy do znalezienia współrzędnych punktu po obrocie o dany kąt. Najlepiej skorzystać z analitycznej postaci obrotu:

\(\displaystyle{ \varphi (x,y) =\begin{bmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}}\)

[Dilectus]

Zakładam, że zaznaczony wewnątrz okręgu punkt będący wierzchołkiem kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) jest środkiem okręgu.Zatem \(\displaystyle{ p=r}\)

1. Wyznacz długość odcinka \(\displaystyle{ k}\) (tw. cosinusów)
2. Przedłuż odcinek \(\displaystyle{ l}\) do przecięcia z okręgiem. Otrzymasz cięciwę o długości \(\displaystyle{ 2(l+a)}\)
3. Przedłuż odcinek \(\displaystyle{ b}\) do przecięcia z dopiero co narysowaną cięciwą.
4. Oznaczmy kąt między odcinkiem \(\displaystyle{ b}\) i promieniem \(\displaystyle{ r}\) jako \(\displaystyle{ \beta}\), zaś kąt między przedłużeniem odcinka \(\displaystyle{ b}\) i odcinkiem \(\displaystyle{ p=r}\) jako \(\displaystyle{ \gamma}\). Łatwo widać, że \(\displaystyle{ \alpha + \beta + \gamma = 180}\). Zatem \(\displaystyle{ \gamma = 180 - (\alpha + \beta)}\)
4. Oblicz długość cięciwy \(\displaystyle{ 2(l+a)}\) z tw. cosinusów (przydadzą Ci się wzory na funkcje trygonometryczne kąta podwojonego i sumy kątów). Ponieważ długość \(\displaystyle{ a}\) jest znana, funkcje trygonometryczne kąta \(\displaystyle{ \beta }\) odczytasz z trójkąta prostokątnego o znanych długościach boków, obliczysz długość odcinka \(\displaystyle{ l}\)
Z trójkąta prostokątnego o bokach \(\displaystyle{ k, \ l, \ m}\) znajdziesz długość przyprostokątnej \(\displaystyle{ m}\).

[a4karo]

Bez informacji że `b` i `m` są równoległe niewiele można zdziałać. A tego nie wiemy

[Dilectus]

Bez informacji że `b` i `m` są równoległe niewiele można zdziałać. A tego nie wiemy

Dlatego założyłem, że \(\displaystyle{ b=r}\), bo inaczej nie byłoby sensu eksponować punktu będącego wierzchołkiem kąta \(\displaystyle{ \alpha}\).

[Dasio11]

Bez informacji że `b` i `m` są równoległe niewiele można zdziałać. A tego nie wiemy

Wiemy, bo oba są prostopadłe do `a`.

[Dilectus]

Gdyby wierzchołek kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) nie był środkiem okręgu, to cały ten okrąg nie byłby do niczego potrzebny.

[a4karo]

Gdyby wierzchołek kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) nie był środkiem okręgu, to cały ten okrąg nie byłby do niczego potrzebny.

Bo pewnie i nie jest.
Nawiasem mówiąc dopiero teraz zauważyłem, że odcinki `b` i `m` są równoległe.

Dodano po 57 minutach 6 sekundach:
Ponieważ autor zadania nie spieszy się z objaśnieniem roli tajemniczego okręgu, to załóżmy, że go wcale nie ma.
Łatwo widać, że wtedy zadania nie da się rozwiązać bez znajomości jednej z wartości: `p` lub `k`.

Umieśćmy układ współrzędnych w punkcie wspólnym odcinków `r` i `b` i oznaczmy go `O`. Nasze zadanie sprowadza się do wyznaczenia współrzędnych punktu `P`, który jest punktem wspólnym odcinków `p` i `k`.

Załóżmy, że dane jest `k`.
Niech `\beta` będzie kątem między odcinkami `r` i `b`. Wtedy współczynnik kierunkowy prostej `OP` jest równy `w=\tan \lambda=\tan (\pi-\alpha-\beta)` i punkt `P` wyznaczamy jako punkt przecięcia prostej `y=wx` i okręgu `(x+b)^2+(y-a)^2=k^2`.

Jeżeli natomiast znamy `p`, to punkt `P` jest równy `\frac{p}{r}(-b+ai)e^(-\alpha i)`. Jak ktoś nie lubi liczb zespolonych, to `P` leży na prostej `y=wx` i okręgu `x^2+y^2=p^2`

[rvsh]

Dziękuję za wkład do rozwiązania problemu.

Dodatkowe dane:
\(\displaystyle{ p=r}\)
odcinki \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ b}\) są równoległe
wierzchołek kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) jest środkiem okręgu.

matmatmm w drugim poście naprowadził mnie na rozwiązanie.
Bardzo to uprościło sprawę, wykorzystałem to tak:
pozycja punkty w osi \(\displaystyle{ X = \cos( \alpha) - \sin( \alpha)}\)
pozycja punkty w osi \(\displaystyle{ Y = \cos(- \alpha) - \sin(- \alpha)}\)

Bardzo dziękuję!

[a4karo]

Chyba nie tak. Przecież te współrzędne zależą od `a` i `b`

[dzialka11o]

Ciekawi mnie jaka jest długość L dwusiecznej
tego kąta środkowego , w dla trzech
przypadków :
1) ( r= p : gdy przecinają się w środku okregu ),
2) pólprosta b nie leży na srednicy okręgu
3) gdy kąt Alfa nie leży w srodku okręgu
Pozdrawiam T.W.