prosta połowiąca wielokąt wypukły

[wojciechfil20]

Udowodnij, że istnieje prosta połowiąca jednocześnie pole i obwód dowolnego wielokąta wypukłego.

[piasek101]

Udowodnij, że istnieje prosta połowiąca jednocześnie pole i objętość dowolnego wielokąta wypukłego.

Może obwód ?

[wojciechfil20]

Oczywiście chodziło o obwód.

[janusz47]

Najprościej metodą nie wprost.

Metodę wprost przedstawił Pan Krzysztof Omiljanowski:

http://www.aezpbil.matematyka.wroc.pl/c ... d-trojkata

[a4karo]

Najprościej metodą niewprost.

Metodę wprost przedstawił Pan Krzysztof Omiljanowski:

http://www.aezpbil.matematyka.wroc.pl/c ... d-trojkata

Super rada. Metoda działa dla trójkątów. Krzysztof pisze o prostokącie z "odgryzionym" rogiem tak:

Czy dla figury obok istnieje prosta, która dzieli jej pole i obwód na połowy?
To zadanie jest beznadziejne rachunkowo, tzn. wyznaczenie takiej prostej wzorem jest niemożliwe.
Jednak można łatwo uzasadnić istnienie takiej prostej.

Jak widać, metoda wprost nie stosuje się to ciut bardziej skomplikowanych od trójkąta figur.


Idea dowodu jest taka:
Dla każdego `0\le varphi\le \pi` istnieje prosta `x\cos\varphi +x\sin\varphi +K_{\varphi}=0`, która dzieli pole figury na połowę. Niech `P(\varphi)` oznacza różnicę długości brzegów figury, które są po obu stronach prostej.

Jeżeli pokażemy, że `P` jest funkcją ciągłą, to istnienie prostej wyniknie z własności Darboux, bo `P(0)=-P(\pi)`

[kerajs]

Se napisze:
Wielokąt wypukły ma punkt ciężkości, a każda prosta dzieląca jego pole na równe części przechodzi przez ten punkt.
Wybieram dowolną taką prostą. Dzieli ona obwód na dwie części. Jeśli są równe to wybrana jest prostą potwierdzającą tezę, a jeśli nie to koloruję je na dwa różne kolory (załóżmy że niebieski był fragment obwodu był dłuższy od żółtego). Teraz obracam prostą wokół punktu ciężkości co powoduje przesuwanie się (żółtego i niebieskiego) fragmentu obwodu. Po obrocie o kąt półpełny części obwodu zamieniły się kolorami (teraz żółty jest dłuższy). Ponieważ zmiany długości odbywały się w sposób ciągły to musiał istnieć kąt (lub kąty) obrotu gdzie kolorowe fragmenty obwodu miały jednakową długość.

Dodano po 5 minutach 40 sekundach:
Ups, zbyt długo pisałem. Niestety, w odróżnieniu od pozostałych użytkowników, nie mam opcji kasowania postów więc pozostanie, mimo dublowania sugestii a4karo.

[a4karo]

Se napisze:
Wielokąt wypukły ma punkt ciężkości, a każda prosta dzieląca jego pole na równe części przechodzi przez ten punkt.


Dodano po 5 minutach 40 sekundach:
Ups, zbyt długo pisałem. Niestety, w odróżnieniu od pozostałych użytkowników, nie mam opcji kasowania postów więc pozostanie, mimo dublowania sugestii a4karo.

To stwierdzenie nie jest prawdziwe. Wyobraźmy sobie figurę składającą się z półkola oraz prostokąta zbudowanego na jego średnicy. Dobierzmy drugi bok prostokąta tak, aby środek ciężkości układu znalazł się w punkcie `O` na środku średnicy. Łatwo widać, że dla prostych przechodzących przez `O` i prawie równoległych do średnicy pola trójkątów wyciętych z prostokąta będą większe, niz pola wycinków kołowych z drugiej strony.

[kerajs]

Słusznie, spartaczyłem to. Akurat tu przycisk X byłby przydatny.

[wojciechfil20]

Jak uzasadnić, że \(\displaystyle{ P( \varphi )}\) jest funkcją ciągłą?

[a4karo]

Można na pzykład tak: pokazać, że proste odpowiadające bliskim argumentom są w pewnym sensie blisko siebie. A stąd i z faktu, że prosta przechodząca przez wnętrze figury wypukłej przecina jej brzeg dokładnie w dwóch punktach wyniknie, że punkty przecięć takich prostych z brzegiem są blisko siebie.

[wojciechfil20]

Dla każdego `0\le varphi\le \pi` istnieje prosta `x\cos\varphi +x\sin\varphi +K_{\varphi}=0`, która dzieli pole figury na połowę.

Skąd wzięły się tutaj funkcje trygonometryczne? Czym jest tutaj \(\displaystyle{ \varphi}\)? Czym jest tutaj \(\displaystyle{ x}\)? Co oznaczna \(\displaystyle{ K_{\varphi}}\)?

Dodano po 1 minucie 29 sekundach:
Jedyne co tu rozumiem to własność Darboux.

[a4karo]

Przepraszam za literówkę. Powinno być `y\cos\varphi +x\sin\varphi +K_{\varphi}=0`.

Czy znasz równanie prostej na płaszczyżnie: `ax+by+c=0`? No to to powyższe jest właśnie równaniem rodziny prostych: dla każdego `\varphi` mamy jedną prostą, która jest nachylona do osi `OX` pod kątem `\tan \varphi`.

[timon92]

łatwiej chyba patrzeć na proste połowiące obwód i pokazać, że jedna z nich połowi też pole (to w zasadzie oczywiste, bo różnica pól tych dwóch wielokątów zmienia się kawałkami liniowo)

[a4karo]

Pewnie łatwiej

[wojciechfil20]

Na jakiej zasadzie miałbym udowodnić to, że jedna z nich połowi też pole? Nie rozumiem "bo różnica pól tych dwóch wielokątów zmienia się kawałkami liniowo". Jakimi kawałkami?