prosta połowiąca wielokąt wypukły

[a4karo]

Idea jest dokładnie taka sama. Jak objedziesz polowę obwodu, to to pole co było po prawej będzie po lewej i na odwrót. Zatem różnica pół gdzieś musi się zerować

[wojciechfil20]

Umiem udowodnić, że pod danym kątem istnieje prosta dzieląca pole na pół, ale nie umiem udowodnić, że funkcja różnicy obwodów powstałych wielokątów jest ciągła.
Umiem też udowodnić, że pod danym kątem istnieje prosta dzieląca obwód na pół, ale nie umiem udowodnić, że funkcja różnicy pól powstałych wielokątów jest ciągła.

Dodano po 1 minucie 28 sekundach:

Idea jest dokładnie taka sama. Jak objedziesz polowę obwodu, to to pole co było po prawej będzie po lewej i na odwrót. Zatem różnica pół gdzieś musi się zerować

Nie rozumiem jakie pole po prawej i po lewej.

Dodano po 3 minutach 57 sekundach:
Zresztą w ten sposób już na początku musiałbym wiedzieć, że funkcja różnicy pól jest ciągła.

Dodano po 1 minucie 11 sekundach:
W jaki sposób powinienem udowodnić ciągłość funkcji? W ogóle na jakiej podstawie mogę wyciągnąć takie wnioski?

[timon92]

ok rozpiszę dokładniej

powiedzmy, że wielokąt nazywa się \(A_1A_2\ldots A_n\)

dla każdego punktu \(X\) na obwodzie wielokąta oznaczmy przez \(f(X)\) taki punkt na obwodzie, że \(X\) i \(f(X)\) dzielą obwód wielokąta na dwie łamane tej samej długości

punkty \(A_1, A_2, \ldots, A_n, f(A_1), f(A_2), \ldots, f(A_n)\) leża na obwodzie w jakiejś kolejności, niektóre z nich mogą się pokrywać, ale to nic nie szkodzi; nadajmy tym punktom nowe nazwy \(B_1, B_2, \ldots, B_k\), przy czym nowe nazewnictwo jest takie, że punkty leżą właśnie w tej kolejności na obwodzie, przyjmijmy też \(B_{k+1}=B_1\)

dla dowolnego \(i=1,2,\ldots,k\) i dowolnego punktu \(X\) na odcinku \(B_iB_{i+1}\) określmy \(g(X)\) jako różnicę pól wielokątów \(XB_{i+1}B_{i+2}\ldots f(B_i)f(X)\) i \(Xf(X)f(B_{i+1})f(B_{i+2})\ldots B_i\)

teraz zadanie dla Ciebie: funkcja \(g\) jest liniowa na każdym odcinku \(B_iB_{i+1}\)

wystarczy teraz zauważyć, że dla pewnego \(i\) jest \(g(B_i)\ge 0 \ge g(B_{i+1})\), więc z liniowości dla pewnego punktu na odcinku \(B_iB_{i+1}\) jest \(g(X)=0\)

[wojciechfil20]

Przecież nie da się wyznaczyć pól tych wielokątów. Wiec jak miałbym jeszcze stwierdzić, że funkcja różnicy pól jest liniowa?

[Dasio11]

teraz zadanie dla Ciebie: funkcja \(g\) jest liniowa na każdym odcinku \(B_iB_{i+1}\)

O ile się nie mylę ta funkcja jest na ogół kwadratowa, a liniowa jest tylko gdy \(\displaystyle{ f(B_i) f(B_{i+1})}\) jest równoległy do \(\displaystyle{ B_i B_{i+1}}\).

[timon92]

faktycznie Dasio11, dzięki za sprostowanie

tak czy inaczej, do rozwiązania zadania wystarczy zaledwie ciągłość