Zad. 166 ze zb. Kiełbasy 2011

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Awatar użytkownika
vpprof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 492
Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 64 razy

Zad. 166 ze zb. Kiełbasy 2011

Post autor: vpprof »

Z czystej ciekawości zastanawiam się, w jaki sposób autorzy zbioru doszli do rozwiązania:
166. a) W trójkącie równoramiennym ostrokątnym mamy dane ramię \(\displaystyle{ b}\) oraz kąt między ramionami \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt.

\(\displaystyle{ r=\frac{b}{2} \frac{\sin \alpha}{\sin \frac{\alpha}{2}+1 } }\)
Bez-tytu-u.png
Bez-tytu-u.png (15.53 KiB) Przejrzano 324 razy
Wprowadźmy \(\displaystyle{ a}\) na oznaczenie długości podstawy oraz \(\displaystyle{ \beta}\) na oznaczenie miary kątów przy podstawie.

Jedyne, co mi przychodzi do głowy, to \(\displaystyle{ r= \frac{a}{2} \tg \frac{\beta}{2} }\) i potem można wyliczać \(\displaystyle{ a}\) z tw. cosinusów lub sinusów, ale tak czy owak nie mogę dojść do oficjalnego rozwiązania. Jeśli z tw. cosinusów, to otrzymuję \(\displaystyle{ r=\frac{b}{2} \sqrt{2(1-\cos\alpha)} \tg \frac{\pi-\alpha}{4} }\), a jeśli z tw. sinusów, to \(\displaystyle{ r=\frac{b}{2} \frac{\sin \alpha}{\sin \frac{\pi-\alpha}{2} } \tg \frac{\pi-\alpha}{4}}\). Zapewne można to trygonometrycznie przekształcić, ale przecież nie o to chodzi. Czy ma ktoś jakiś pomysł jak wprost z rysunku otrzymać ichnie rozwiązanie?
Ostatnio zmieniony 20 mar 2022, o 15:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Teraz nie linkujemy zdjęć, tylko załączamy jako załączniki.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Zad. 166 ze zb. Kiełbasy 2011

Post autor: matmatmm »

Podejrzewam, że z równań

\(\displaystyle{ \sin\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{h-r}}\)
\(\displaystyle{ \cos\frac{\alpha}{2} =\frac{h}{b}}\)
ODPOWIEDZ