Wprowadźmy \(\displaystyle{ a}\) na oznaczenie długości podstawy oraz \(\displaystyle{ \beta}\) na oznaczenie miary kątów przy podstawie.166. a) W trójkącie równoramiennym ostrokątnym mamy dane ramię \(\displaystyle{ b}\) oraz kąt między ramionami \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt.
\(\displaystyle{ r=\frac{b}{2} \frac{\sin \alpha}{\sin \frac{\alpha}{2}+1 } }\)
Jedyne, co mi przychodzi do głowy, to \(\displaystyle{ r= \frac{a}{2} \tg \frac{\beta}{2} }\) i potem można wyliczać \(\displaystyle{ a}\) z tw. cosinusów lub sinusów, ale tak czy owak nie mogę dojść do oficjalnego rozwiązania. Jeśli z tw. cosinusów, to otrzymuję \(\displaystyle{ r=\frac{b}{2} \sqrt{2(1-\cos\alpha)} \tg \frac{\pi-\alpha}{4} }\), a jeśli z tw. sinusów, to \(\displaystyle{ r=\frac{b}{2} \frac{\sin \alpha}{\sin \frac{\pi-\alpha}{2} } \tg \frac{\pi-\alpha}{4}}\). Zapewne można to trygonometrycznie przekształcić, ale przecież nie o to chodzi. Czy ma ktoś jakiś pomysł jak wprost z rysunku otrzymać ichnie rozwiązanie?