Zadanie z równoległobokiem

[Twatimanhhs]

We wnętrzu równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) obrano punkt \(\displaystyle{ P}\) taki, że \(\displaystyle{ \angle ABP= \angle ADP}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ \angle DAP= \angle DCP}\).

[janusz47]

Z równości kątów \(\displaystyle{ \angle ABP= \angle ADP }\)

wynika, że trójkąt \(\displaystyle{ \Delta ABD }\) jest równoramienny - długości jego ramion \(\displaystyle{ \overline{AB}, \ \ \overline{AD} }\) są równe.

Równoległobok jest rombem.

W rombie trójkąt \(\displaystyle{ \Delta ADC }\) jest też trójkątem równoramiennym o długości ramion \(\displaystyle{ |\overline{AD}|= |\overline{CD}|.}\)

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają miary równe.

Stąd

\(\displaystyle{ |\angle DAP| = |\angle DCP|. }\)

[Twatimanhhs]

A jeśli punkty A,C,P nie są współliniowe?

[a4karo]

Z równości kątów ` \angle ABP= \angle ADP` nie wynika równoramienność trójkąta `ADB`

[janusz47]

Konstruujemy równoległobok \(\displaystyle{ APED. }\)

\(\displaystyle{ |\angle DAP| = |\angle DEP|}\) - kąty przeciwległe w równoległoboku

Łączymy wierzchołek \(\displaystyle{ C }\) równoległoboku z punktem \(\displaystyle{ E }\)

Wykazujemy, że trójkąty \(\displaystyle{ \Delta ABP \equiv \Delta DCE }\) (cecha bkb)

Na czorokącie \(\displaystyle{ DPCE }\) opisujemy okrąg.

Kąty wpisane oparte na tym samym łuku \(\displaystyle{ DP }\) mają równe miary:

\(\displaystyle{ |\angle DEP| = |\angle PCD|. }\)

Stąd

\(\displaystyle{ |\angle DAP |= |\angle DCP|. }\)

[a4karo]

Konstruujemy równoległobok \(\displaystyle{ APED. }\)

\(\displaystyle{ |\angle DAP| = |\angle DEP|}\) - kąty przeciwległe w równoległoboku

Łączymy wierzchołek \(\displaystyle{ C }\) równoległoboku z punktem \(\displaystyle{ E }\)

Wykazujemy, że trójkąty \(\displaystyle{ \Delta ABP \equiv \Delta DCE }\) (cecha bkb)

Na czorokącie \(\displaystyle{ DPCE }\) opisujemy okrąg.

To warto pokazać, że się da...

Kąty wpisane oparte na tym samym łuku \(\displaystyle{ DP }\) mają równe miary:

\(\displaystyle{ |\angle DEP| = |\angle PCD|. }\)

Stąd

\(\displaystyle{ |\angle DAP |= |\angle DCP|. }\)