Trapez i okrąg.

[Madzzia]

Czy w trapez wpisany w okrąg tak, że znajduje się on w całości nad średnicą można wpisać okrąg?

[a4karo]

Czasem tak, a czasem nie

[Madzzia]

Hmm, a jak by to miało wyglądać? Próbowałam skonstruować sobie taki trapez, ale za każdym razem troszkę brakuje, wg. moich obserwacji wynika, że taki trapez może mieć co najwyżej podstawę równą średnicy, ale nie może w całości znajdować się nad nią :/

[a4karo]

Jak górna podstawa się zredukuje do punktu, to trapez staje się trójkątem. Może się mylę, ale wydaje się, że gdy podstawa będzie króciutka, to da sie okrąg wpisać.

Dodano po 22 minutach 1 sekundzie:
No dobra, zróbmy tak:

Narysuj okrąg o średnicy `1`. Na tym okręgu będziemy opisywać trapezy. Jeżeli dolna podstawa będzie się wydłużać, to co stanie się z górną?

[Madzzia]

Oczywiście maleć.

[a4karo]

OK. Jaka będzie zatem dolna podstawa gdy górna będzie baaaaardzo malutka?

[Madzzia]

baaaaardzo dużaaa
ale jak to się ma do okręgu opisanego?

[a4karo]

To pomyśl gdzie będzie leżał środek okręgu opisanego na tym trapezie?

[Madzzia]

Na środku dłuższej podstawy?

[a4karo]

Nie. On leży na przeciągu symetralnych ukośnych boków. Ten wypada dużo niżej niż dolna podstawa

Dodano po 51 minutach 59 sekundach:
Dobra, zróbmy trochę rachunków. Rozpatrzmy trapezy opisane na okręgu `x^2+y^2=1`, których podstawy leżą na prostych `y=-1` i `y=1`. Będziemy rozpatrywać jedynie trapezy równoramienne.
Przypuśćmy, że prawe ramię jest styczne do okręgu w punkcie `(x_0,y_0)`. Równanie prostej `l`, w której zawarte jest to ramię to \(\displaystyle{ xx_0+yy_0=1}\).
Prosta `l` przecina się z prostą `y=1` w punkcie

\(\displaystyle{ B=\left(\frac{1-y_0}{x_0},1\right)}\)

a z prostą `y=-1` w punkcie

\(\displaystyle{ A=\left(\frac{1+y_0}{x_0},-1\right)}\)

Rozważmy teraz okrąg opisany na tym trapezie: jego środek leży (ze względu na symetrię obrazka) na prostej `x=0` oraz na symetralnej odcinka `AB`.
Równania prostych prostopadłych do `l` to
(*) \(\displaystyle{ xy_0-yx_0=d}\).
Szukamy tej, która przechodzi przez środek odcinka `AB`, czyli przez punkt \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{x_0},0\right)}\). Wstawiając współrzędne tego punktu do równania rodziny prostych (*) dostajemy \(\displaystyle{ d=\frac{y_0}{x_0}}\)

Zatem równanie symetralnej odcinka `AB` to \(\displaystyle{ xy_0-yx_0=\frac{y_0}{x_0}}\). Ta prosta przecina się z prostą `x=0` w punkcie \(\displaystyle{ \left(0,-\frac{y_0}{x_0^2}\right).}\) Ten punkt jest środkiem okręgu opisanego na trapezie.

Wyciągamy stąd taki wniosek:
jeżeli \(\displaystyle{ -\frac{y_0}{x_0^2}\ge -1}\), to środek okręgu opisanego leży wewnątrz trapezy, dla \(\displaystyle{ -\frac{y_0}{x_0^2}=-1}\), to środek leży na dolnej podstawie trapezu, a dla \(\displaystyle{ -\frac{y_0}{x_0^2}\le -1}\) cały trapez leży w górnej połowie okręgu opisanego.

Jak zilustrować te przypadki? Narysuj górną połowę okręgu. okrąg `x^2+y^2=1` oraz parabolę `y=x^2` ta parabola dzieli półokrąg na trzy kawałki. Jeżeli punkt styczności leży w środkowym kawałku, to mamy przypadek `y_0>x_0^2` czyli \(\displaystyle{ -\frac{y_0}{x_0^2}\le -1}\)

Punkty przecięcia paraboli i okręgu łatwo sobie wyliczysz.