Własność czworokąta
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11402
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Własność czworokąta
W czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) punkt \(\displaystyle{ E}\) jest na boku \(\displaystyle{ CD}\), zaś \(\displaystyle{ F}\) jest punktem wspólnym prostych \(\displaystyle{ EB}\) i przekątnej \(\displaystyle{ AC}\). Prosta \(\displaystyle{ DF}\) i bok \(\displaystyle{ BC}\) mają punkt wspólny \(\displaystyle{ G}\), zaś kąty \(\displaystyle{ DAC}\) i \(\displaystyle{ CAB}\) są równe. Wykazać równość kątów i \(\displaystyle{ EAC}\) i \(\displaystyle{ CAG}\).
Ostatnio zmieniony 5 paź 2021, o 10:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Literówka w temacie. Interpunkcja.
Powód: Literówka w temacie. Interpunkcja.
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Re: Własność czworokąta
Z nałożonego warunku równości kątów:
\(\displaystyle{ \angle DAC = \angle CAB}\) wynika, że prosta \(\displaystyle{ l (AC) }\) jest dwusieczną kąta \(\displaystyle{ \angle DAB}\)
Stąd wynikają równości miar odcinków
\(\displaystyle{ D F = FB}\) oraz \(\displaystyle{ EF = FG}\)
ale też \(\displaystyle{ DC = CB}\)
i stąd równość miar kątów \(\displaystyle{ \angle EAC = \angle CAB}\) co postuluje teza.
Zauważamy, że taki czworokąt jet deltoidem.
\(\displaystyle{ \angle DAC = \angle CAB}\) wynika, że prosta \(\displaystyle{ l (AC) }\) jest dwusieczną kąta \(\displaystyle{ \angle DAB}\)
Stąd wynikają równości miar odcinków
\(\displaystyle{ D F = FB}\) oraz \(\displaystyle{ EF = FG}\)
ale też \(\displaystyle{ DC = CB}\)
i stąd równość miar kątów \(\displaystyle{ \angle EAC = \angle CAB}\) co postuluje teza.
Zauważamy, że taki czworokąt jet deltoidem.
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Re: Własność czworokąta
Nie upieram się przy swoim i poproszę o rysunek z kontrprzykładem.
Co zaś tyczy się równości odpowiednich odcinków, to wynikają z zadanej zadaniem równości opowiednich kątów.
Co zaś tyczy się równości odpowiednich odcinków, to wynikają z zadanej zadaniem równości opowiednich kątów.
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Re: Własność czworokąta
można rzutowo:
niech \(BD\) tnie \(AC\) i \(EG\) w \(X\) i \(Y\), wtedy \(B,D,X,Y\) jest czwórką harmoniczną
\(AX\) jest dwusieczną kąta \(BAD\), więc z tego, że czwórka \(B,D,X,Y\) jest harmoniczna dostajemy, że \(AX \perp AY\)
jeśli teraz oznaczymy przecięcie \(EG\) z \(AC\) przez \(Z\), to czwórka \(G,E,Z,Y\) jest harmoniczna, więc z tego, że \(AZ \perp AY\) mamy, że \(AZ\) jest dwusieczną kąta \(GAE\), czyli tezę
niech \(BD\) tnie \(AC\) i \(EG\) w \(X\) i \(Y\), wtedy \(B,D,X,Y\) jest czwórką harmoniczną
\(AX\) jest dwusieczną kąta \(BAD\), więc z tego, że czwórka \(B,D,X,Y\) jest harmoniczna dostajemy, że \(AX \perp AY\)
jeśli teraz oznaczymy przecięcie \(EG\) z \(AC\) przez \(Z\), to czwórka \(G,E,Z,Y\) jest harmoniczna, więc z tego, że \(AZ \perp AY\) mamy, że \(AZ\) jest dwusieczną kąta \(GAE\), czyli tezę