Własność czworokąta

[mol_ksiazkowy]

W czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) punkt \(\displaystyle{ E}\) jest na boku \(\displaystyle{ CD}\), zaś \(\displaystyle{ F}\) jest punktem wspólnym prostych \(\displaystyle{ EB}\) i przekątnej \(\displaystyle{ AC}\). Prosta \(\displaystyle{ DF}\) i bok \(\displaystyle{ BC}\) mają punkt wspólny \(\displaystyle{ G}\), zaś kąty \(\displaystyle{ DAC}\) i \(\displaystyle{ CAB}\) są równe. Wykazać równość kątów i \(\displaystyle{ EAC}\) i \(\displaystyle{ CAG}\).

[kruszewski]

Z nałożonego warunku równości kątów:
\(\displaystyle{ \angle DAC = \angle CAB}\) wynika, że prosta \(\displaystyle{ l (AC) }\) jest dwusieczną kąta \(\displaystyle{ \angle DAB}\)
Stąd wynikają równości miar odcinków
\(\displaystyle{ D F = FB}\) oraz \(\displaystyle{ EF = FG}\)
ale też \(\displaystyle{ DC = CB}\)
i stąd równość miar kątów \(\displaystyle{ \angle EAC = \angle CAB}\) co postuluje teza.
Zauważamy, że taki czworokąt jet deltoidem.

[timon92]

kruszewski, skąd wzięły się te wszystkie równości odcinków?

ten czworokąt nie musi być deltoidem

[kruszewski]

Nie upieram się przy swoim i poproszę o rysunek z kontrprzykładem.
Co zaś tyczy się równości odpowiednich odcinków, to wynikają z zadanej zadaniem równości opowiednich kątów.

[timon92]

Kod: Zaznacz cały

https://i.imgur.com/UVshFfF.png

[kruszewski]

A jak to wykazać sposobem platońskim?

[timon92]

można rzutowo:

niech \(BD\) tnie \(AC\) i \(EG\) w \(X\) i \(Y\), wtedy \(B,D,X,Y\) jest czwórką harmoniczną

\(AX\) jest dwusieczną kąta \(BAD\), więc z tego, że czwórka \(B,D,X,Y\) jest harmoniczna dostajemy, że \(AX \perp AY\)

jeśli teraz oznaczymy przecięcie \(EG\) z \(AC\) przez \(Z\), to czwórka \(G,E,Z,Y\) jest harmoniczna, więc z tego, że \(AZ \perp AY\) mamy, że \(AZ\) jest dwusieczną kąta \(GAE\), czyli tezę