1. Udowodnij, że w każdym trójkącie jest kąt, który ma co najmniej \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\) i kąt który ma co najwyżej \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\).
Założenie:
Rozpatrujemy dowolny trójkąt.
Teza:
W dowolnym trójkącie jest kąt \(\displaystyle{ \alpha \le 60^{\circ}}\) i kąt \(\displaystyle{ \beta \ge 60^{\circ}. }\)
Dowód (nie wprost):
Rozpatrzmy tezę będącą negacją tezy wyjściowej:
W dowolnym trójkącie jest kąt \(\displaystyle{ \alpha >60^{\circ}}\) lub kąt \(\displaystyle{ \beta <60^{\circ}}\)
Alternatywna zdań jest fałszywa, gdy oba zdania są fałszywe. Oba zdania są fałszywe dla trójkąta równobocznego, w którym \(\displaystyle{ \alpha =60^{\circ}}\) i \(\displaystyle{ \beta =60^{\circ}}\), zatem negacja tezy wyjściowej jest zdaniem fałszywym, bo istnieje trójkąt, w którym jednocześnie oba zdania \(\displaystyle{ \alpha >60^{\circ}}\) i \(\displaystyle{ \beta <60^{\circ}}\) nie są prawdziwe. Zatem teza wyjściowa jest prawdziwa.
2. Wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) wybrano dowolny punkt \(\displaystyle{ S}\). Uzasadnij, że \(\displaystyle{ |\angle CSB|>|\angle CAB|}\)
Tu mam zdjęcie trójkąta. Nie wiem, czemu nie wyświetla się, jak wstawiam między imgy.
Kod: Zaznacz cały
https://images91.fotosik.pl/530/1ca7f8946d05e28b.png
Założenie:
\(\displaystyle{ ABC}\)- dowolny trójkąt
Teza:
\(\displaystyle{ |\angle CSB|>|\angle CAB|}\)
Dowód:
Teza będzie prawdziwa, jeśli \(\displaystyle{ a+b>d+e}\).
Z nierówności trójkąta wynika, że:
\(\displaystyle{ a>f+d}\), więc tym bardziej
\(\displaystyle{ a>d}\)
\(\displaystyle{ b>f+e}\), więc tym bardziej
\(\displaystyle{ b>e}\)
Po dodaniu otrzymanych nierówności mamy:
\(\displaystyle{ a+b>d+e}\), zatem teza jest prawdziwa.
Nie wiem tylko, czy muszę wykazywać, dlaczego jeśli \(\displaystyle{ a+b>d+e}\) to \(\displaystyle{ |\angle CSB|>|\angle CAB|}\)