dwa proste zadania na dowodzenie

[VanHezz]

Witam, mam pewne wątpliwości co do poprawności rozwiązania dwóch zadań, przy czym większą wątpliwość w drugim zadaniu.

1. Udowodnij, że w każdym trójkącie jest kąt, który ma co najmniej \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\) i kąt który ma co najwyżej \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\).

Założenie:
Rozpatrujemy dowolny trójkąt.

Teza:
W dowolnym trójkącie jest kąt \(\displaystyle{ \alpha \le 60^{\circ}}\) i kąt \(\displaystyle{ \beta \ge 60^{\circ}. }\)

Dowód (nie wprost):

Rozpatrzmy tezę będącą negacją tezy wyjściowej:
W dowolnym trójkącie jest kąt \(\displaystyle{ \alpha >60^{\circ}}\) lub kąt \(\displaystyle{ \beta <60^{\circ}}\)

Alternatywna zdań jest fałszywa, gdy oba zdania są fałszywe. Oba zdania są fałszywe dla trójkąta równobocznego, w którym \(\displaystyle{ \alpha =60^{\circ}}\) i \(\displaystyle{ \beta =60^{\circ}}\), zatem negacja tezy wyjściowej jest zdaniem fałszywym, bo istnieje trójkąt, w którym jednocześnie oba zdania \(\displaystyle{ \alpha >60^{\circ}}\) i \(\displaystyle{ \beta <60^{\circ}}\) nie są prawdziwe. Zatem teza wyjściowa jest prawdziwa.



2. Wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) wybrano dowolny punkt \(\displaystyle{ S}\). Uzasadnij, że \(\displaystyle{ |\angle CSB|>|\angle CAB|}\)

Tu mam zdjęcie trójkąta. Nie wiem, czemu nie wyświetla się, jak wstawiam między imgy.

Kod: Zaznacz cały

https://images91.fotosik.pl/530/1ca7f8946d05e28b.png

Założenie:
\(\displaystyle{ ABC}\)- dowolny trójkąt

Teza:
\(\displaystyle{ |\angle CSB|>|\angle CAB|}\)

Dowód:

Teza będzie prawdziwa, jeśli \(\displaystyle{ a+b>d+e}\).

Z nierówności trójkąta wynika, że:

\(\displaystyle{ a>f+d}\), więc tym bardziej
\(\displaystyle{ a>d}\)

\(\displaystyle{ b>f+e}\), więc tym bardziej
\(\displaystyle{ b>e}\)

Po dodaniu otrzymanych nierówności mamy:

\(\displaystyle{ a+b>d+e}\), zatem teza jest prawdziwa.

Nie wiem tylko, czy muszę wykazywać, dlaczego jeśli \(\displaystyle{ a+b>d+e}\) to \(\displaystyle{ |\angle CSB|>|\angle CAB|}\)

[Dasio11]

Rozpatrzmy tezę będącą negacją tezy wyjściowej:
W dowolnym trójkącie jest kąt \(\displaystyle{ \alpha >60^{\circ}}\) lub kąt \(\displaystyle{ \beta <60^{\circ}}\)

Zastanów się jeszcze raz nad tym przejściem.

[VanHezz]

No racja, to przecież zaprzeczenie zdania z kwantyfikatorem.

Więc zaprzeczenie tezy wyjściowej powinno wyglądać tak:

\(\displaystyle{ \neg (\exists_{ \alpha}: \alpha \le 60^{\circ} \wedge \exists_{ \beta} : \beta \ge 60^{\circ} )\Leftrightarrow \forall_{ \alpha }: \alpha >60^{\circ} \vee \forall_{ \beta } :\beta <60^{\circ}}\)

Więc ja to czytam tak, że każdy kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) (czyli NB wszystkie kąty w trójkącie) są większe niż \(\displaystyle{ 60^{\circ} }\)LUB każdy kąt \(\displaystyle{ \beta }\), czyli wszystkie kąty w trójkącie są mniejsze niż \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\). Oba zdania są nieprawdziwe, bo suma miar kątów w trójkącie to \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\), więc teza wyjściowa jest prawdziwa.
Tylko coś mi nie pasuje z tymi oznaczeniami \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\). Chyba lepiej słownie byłoby to wszystko zapisać i po problemie.

[a4karo]

Ten warunek w zadaniu 2 jest daleki od oczywistości i wymaga dowodu.

Ale zadanie można prosto zrobić bez niego

[VanHezz]

No tak. To niech

\(\displaystyle{ |\angle SCB|= \alpha }\)
\(\displaystyle{ |\angle SBC|= \beta }\)
\(\displaystyle{ |\angle ACS|= \gamma }\)
\(\displaystyle{ |\angle ABS|= \delta }\).

Wówczas

\(\displaystyle{ |\angle CSB|= 180^{\circ} - \alpha - \beta}\)
\(\displaystyle{ |\angle CAB| = 180^{\circ} - \alpha-\beta-\gamma-\delta}\).

To widać, że

\(\displaystyle{ |\angle CAB|}\)jest mniejsze od \(\displaystyle{ |\angle CSB|}\)

Dodano po 1 dniu 20 godzinach 3 minutach 52 sekundach:
Mam jeszcze jedno zadanie.

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) boki mają długość: \(\displaystyle{ |AB|=c}\), \(\displaystyle{ |BC|=a}\), \(\displaystyle{ |AC|=b}\). Dwusieczna kąta \(\displaystyle{ ACB}\) przecina bok \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ |AD|}\)\(\displaystyle{ = \frac{bc}{a+b}}\) i \(\displaystyle{ |BD|= \frac{ac}{a+b}}\).

Rozwiązałem to zadanie, wychodząc z założeń i korzystając z twierdzenia o podziale boku przez dwusieczną kąta wewnętrznego trójkąta doszedłem do tezy.

Natomiast zastanawiam się, czy poprawnym byłoby również rozwiązanie, w którym wyszedłbym od tezy i doszedł do twierdzenia.
Mianowicie skoro \(\displaystyle{ |AD|= \frac{bc}{a+b}}\) i \(\displaystyle{ |BD|= \frac{ac}{a+b}}\), to

\(\displaystyle{ \frac{|AD|}{|BD|} = \frac{ \frac{bc}{a+b} }{ \frac{ac}{a+b} } = \frac{bc}{ac} = \frac{b}{a}}\) , a jest to prawda, bo jest to nic innego jak treść powyższego twierdzenia o podziale boku przez dwusieczną, więc teza jest prawdziwa.

[a4karo]

Czyli założyłeś to, co masz udowodnić i dostałeś coś prawdziwego. Czy to ma sens?

[VanHezz]

No ok, a w zadaniu takim:

W trójkąt prostokątny \(\displaystyle{ ABC}\) o kącie ostrym \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\) wpisano okrąg. Punkt styczności \(\displaystyle{ D}\) tego okręgu z przeciwprostokątną \(\displaystyle{ CB}\) dzieli ją na dwa odcinki \(\displaystyle{ CD}\) i \(\displaystyle{ DB}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ |AC| \cdot |AB|=2 \cdot |CD| \cdot |DB|}\).

Nie będę wszystkiego rozpisywał, ale jeśli wyznaczę z odpowiednich własności, że

\(\displaystyle{ |AC|=r+ \sqrt{3}r}\)
\(\displaystyle{ |AB|=r(3+ \sqrt{3} ) }\)
\(\displaystyle{ |CD|=\sqrt{3}r}\)
\(\displaystyle{ |DB|=r(2+\sqrt{3})}\)

i następnie obliczę \(\displaystyle{ |AC| \cdot |AB|}\) w zależności od \(\displaystyle{ r}\) oraz \(\displaystyle{ 2 \cdot |CD| \cdot |DB|}\) w zależności od \(\displaystyle{ r}\) i porównam lewą i prawą stronę, to będzie to poprawny dowód, jeśli lewa i prawa strona będą takie same?