No bo gdyby wziąć trzy okręgi takie, że każde dwa są względem siebie styczne wewnętrznie w punkcie \(\displaystyle{ X}\), to mamy trzy okręgi przechodzące przez jeden punkt, których środki leżą na jednej prostej, a które - wbrew lematowi - nie mają drugiego punktu wspólnego dla wszystkich ich trzech? Czy tu może po prostu chodzić o to, że w domyśle traktujemy taki przypadek jako zdegenerowany, w którym dwa punkty przecięcia wspólne dla każdej pary okręgów "schodzą się" do jednego punktu styczności czy to ja jestem dzisiaj jakiś nieprzytomny? xDLemma 2.13 (Finding Coaxial Circles). Three distinct circles \(\displaystyle{ Ω_{1}}\), \(\displaystyle{ Ω_{2}}\), \(\displaystyle{ Ω_{3}}\) pass through
a point \(\displaystyle{ X}\). Then their centers are collinear if and only if they share a second common point.
Lemat o okręgach
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 8 lip 2021, o 19:33
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 17
- Podziękował: 2 razy
Lemat o okręgach
W książce "Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads" spotkałem się z następującym lematem, jednak wydaje mi się, że niepoprawnie go rozumiem:
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Lemat o okręgach
Według mnie masz zupełną rację. Lemat jest nieprawdziwy. Staje się prawdziwy np. przy dodatkowym założeniu, że \(\displaystyle{ \Omega_1, \Omega_2}\) nie są styczne.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10223
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Lemat o okręgach
W geometrii algebraicznej punkt przecięcia dwóch krzywych uważa się za wielokrotny, jeśli krzywe są w tym punkcie styczne (idea podobna jak dla zer wielokrotnych wielomianu) - może taką interpretację zakłada lemat?
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10223
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Lemat o okręgach
Mając konkretne krzywe można to wyliczyć z definicji, której nie przytoczyłem, bo jest nieistotna - podałem tylko (potencjalnie) istotną dla tego wątku jej własność.