okręgi, potęga punktu względem okręgu

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
KaKaKa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 26 sty 2019, o 12:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy

okręgi, potęga punktu względem okręgu

Post autor: KaKaKa »

Dane są okręgi \(\displaystyle{ O_1}\) i \(\displaystyle{ O_2}\) rozłączne zewnętrznie. Proste \(\displaystyle{ prAC}\) i \(\displaystyle{ prBD}\) są ich wspólnymi stycznymi zewnętrznymi, przy czym \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\), \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) są punktami styczności (rysunek). Odcinek \(\displaystyle{ AD}\) przecina okręgi \(\displaystyle{ O_1}\) i \(\displaystyle{ O_2}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ |AE| = |FD|}\).

Kod: Zaznacz cały

https://ibb.co/zGvMt3C


Wydaje mi się, że trzeba jakoś skorzystać z własności potęgi punktu względem okręgu, ale nie jestem pewna jak ruszyć z zadaniem.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: okręgi, potęga punktu względem okręgu

Post autor: matmatmm »

Wskazówki do dowodu elementarnego (bez potęg punktu względem okręgu):
Ukryta treść:    
Ukryta treść:    
Ukryta treść:    
KaKaKa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 26 sty 2019, o 12:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy

Re: okręgi, potęga punktu względem okręgu

Post autor: KaKaKa »

Z jednokładności okęgów odcinki \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) są równoległe, stąd czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest trapezem - wydaje mi się, że dobrze to rozumiem. Ale skąd ta równość kątów?
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: okręgi, potęga punktu względem okręgu

Post autor: matmatmm »

KaKaKa pisze: 9 cze 2021, o 12:17 Z jednokładności okęgów odcinki \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) są równoległe, stąd czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest trapezem - wydaje mi się, że dobrze to rozumiem.
Możesz przybliżyć bardziej to rozumowanie?
Ale skąd ta równość kątów?
Wyrysuj środek okręgu i skorzystaj z kilku faktów:
1. Kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego opartego na tym samym łuku.
2. Trójkąt, którego bokami są promienie jest równoramienny.
3. Styczna jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.
KaKaKa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 26 sty 2019, o 12:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy

Re: okręgi, potęga punktu względem okręgu

Post autor: KaKaKa »

Możesz przybliżyć bardziej to rozumowanie?
Z jednokładności okręgów odcinki \(\displaystyle{ BD}\) i \(\displaystyle{ AC}\) są sobie równe i punkty \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ C}\) są równoodległe od środka tej jednokładności, skąd wywnioskowałam równoległość odcinków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ DC}\).


Już doszłam do rozwiązania tego zadania, bardzo dziękuję za pomoc.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: okręgi, potęga punktu względem okręgu

Post autor: matmatmm »

KaKaKa pisze: 9 cze 2021, o 15:47 Z jednokładności okręgów odcinki \(\displaystyle{ BD}\) i \(\displaystyle{ AC}\) są sobie równe i punkty \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ C}\) są równoodległe od środka tej jednokładności, skąd wywnioskowałam równoległość odcinków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ DC}\).
Jeśli wiemy, że istnieje jednokładność, która przekształca punkt \(\displaystyle{ A}\) na punkt \(\displaystyle{ C}\) i punkt \(\displaystyle{ B}\) na punkt \(\displaystyle{ D}\), to istotnie da się z tego wywnioskować równoległość \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) (twierdzenie odwrotne do Talesa). Jednak skąd wiemy, że taka jednokładność istnieje?

Jeśli się temu bliżej przyjrzeć, to jej istnienie jest w zasadzie równoważne równości \(\displaystyle{ \frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}}\) (\(\displaystyle{ O}\) jest punktem przecięcia stycznych) i tym samym równoległości \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\). Krótko mówiąc mamy tutaj wnioskowanie z tezy (chyba, że masz jakieś inne uzasadnienie istnienia tej jednokładności).
ODPOWIEDZ