Trapez, podobieństwo figur

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
KaKaKa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 26 sty 2019, o 12:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy

Trapez, podobieństwo figur

Post autor: KaKaKa »

Witam,
mam problem z następującym dowodem:

W trapezie \(\displaystyle{ ABCD}\) o podstawie \(\displaystyle{ AB}\) przez punkt \(\displaystyle{ O}\) przecięcia przekątnych prowadzimy dwie proste równoległe do boków \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ DA}\), przecinające podstawę \(\displaystyle{ AB}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ B'}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ |AA'|=|BB'|.}\)

Kod: Zaznacz cały

https://www.linkpicture.com/q/tr_2.png
(pod linkiem grafika do zadania)

Doszłam do tego, że trójkąty \(\displaystyle{ DD'O}\) i \(\displaystyle{ BB'O}\) oraz trójkąty \(\displaystyle{ AA'O}\) i \(\displaystyle{ CC'O}\) są podobne. Nie bardzo wiem jak to pociągnąć dalej. Domyślam się, że w pewnym momencie trzeba będzie przyrównać do siebie obie skale podobieństwa ale nie potrafię zargumentować dlaczego.

Proszę o pomoc i dziękuję;)
Ostatnio zmieniony 27 maja 2021, o 21:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
roguxivlo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 9 gru 2020, o 18:50
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

Re: Trapez, podobieństwo figur

Post autor: roguxivlo »

Ponieważ \(\displaystyle{ OA'\parallel BC}\), więc trójkąty \(\displaystyle{ AA'O, ABC}\) są podobne. Analogicznie, podobne są trójkąty \(\displaystyle{ BB'O, BAD}\). Z pierwszego podobieństwa mamy \(\displaystyle{ \frac{AA'}{AB}=\frac{AO}{AC}}\), a z drugiego: \(\displaystyle{ \frac{BB'}{AB}=\frac{BO}{BD}}\).
Chcemy udowodnić równość \(\displaystyle{ AA'=BB'\Leftrightarrow \frac{AA'}{AB}=\frac{BB'}{AB}\Leftrightarrow \frac{AO}{AC}=\frac{BO}{BD}\Leftrightarrow \frac{AO}{BO}=\frac{AC}{BD}}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ \frac{AC}{BD}=\frac{AO+CO}{BO+DO}}\). Chcemy zatem udowodnić równość \(\displaystyle{ \frac{AO}{BO}=\frac{AO+CO}{BO+DO}}\), czyli po wymnożeniu: \(\displaystyle{ AO\cdot BO+AO\cdot DO=AO\cdot BO+CO\cdot BO}\). To się upraszcza do równości: \(\displaystyle{ AO\cdot DO=CO\cdot BO\Leftrightarrow \frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}}\). Ostatnia równość zachodzi, ponieważ trójkąty \(\displaystyle{ ABO, CDO}\) są podobne (z cechy \(\displaystyle{ kkk}\)).
ODPOWIEDZ