Twierdzenie Talesa-Pompe

[MarekP119]

Punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) leżą odpowiednio na bokach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AD}\) rombu \(\displaystyle{ ABCD}\). Proste \(\displaystyle{ CE}\) i \(\displaystyle{ CF}\) przecinają przekątną \(\displaystyle{ BD}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\). Proste \(\displaystyle{ EL}\) i \(\displaystyle{ FK}\) przecinają boki \(\displaystyle{ CD}\) i \(\displaystyle{ CB}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\). Dowieść że \(\displaystyle{ CP=CQ}\). Narazie mam, że \(\displaystyle{ \frac{DL}{LB}= \frac{DF}{BC}}\) i \(\displaystyle{ \frac{BK}{KD}= \frac{EB}{DC}}\) i nie wiem co dalej.
Jest to zadanie 62 ze zbioru Pompego:

Kod: Zaznacz cały

https://www.mimuw.edu.pl/~jjelisiejew/matma/images/pompe.pdf

Z góry dziękuję za pomoc.

[karolex123]

Już jest blisko: zobacz dalej, że \(\displaystyle{ \frac{DL}{LB}=\frac{DP}{EB}}\) oraz, że \(\displaystyle{ \frac{BK}{KD}=\frac{BQ}{FD}}\). Powinno to już dać tezę.

[kruszewski]

Podpowiedź szkicem:
\(\displaystyle{ m = BB' \perp l}\)
\(\displaystyle{ n \parallel m}\)
Prosta \(\displaystyle{ l (AC)}\) połowi odcinki: \(\displaystyle{ BB'}\) i \(\displaystyle{ DD'}\)

Dodano po 1 dniu 21 godzinach 56 minutach 52 sekundach:
Zauważamy równość kątów \(\displaystyle{ \angle \theta = \angle \alpha}\), oraz \(\displaystyle{ \angle \delta = \gamma}\)
Stąd równość odpowiednich boków deltoidów \(\displaystyle{ CPNQ}\), oraz \(\displaystyle{ AMNE}\)
a zatem i równość odcinków \(\displaystyle{ \mid CP \mid}\), oraz \(\displaystyle{ \mid CQ \mid}\)

Ukryta treść:    

Linie kreskowe oraz pukty \(\displaystyle{ O \ i \ N}\) są konstrukcyjne. Nie pokazane w rysunku do zadania.