Twierdzenie iloczyn dwóch odcinków daje równanie okręgu?

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 261 razy
Pomógł: 7 razy

Twierdzenie iloczyn dwóch odcinków daje równanie okręgu?

Post autor: Mondo »

Witam,

probuję zrozumieć twierdzenie które mówi iż: "Mając punkt P(x,y) oraz dowolny okrąg opisany równaniem w postaci znormalizowanej \(\displaystyle{ C(x,y) = 0}\) jeżeli linia przechodząca przez P przetnie dany okrąg w punktach Q oraz R to \(\displaystyle{ C(x,y) = PQ \cdot PR}\)" gdzie PQ oraz PR to długości jak na rysunku 18.1 tutaj

Kod: Zaznacz cały

https://i2.paste.pics/796e202e27015761ebe45897e885b151.png
(widać także cały dowód)

Nie rozumiem kilku rzeczy, po pierwsze w jaki sposób autor z równania
\(\displaystyle{ r^2 + 2r(x\cos(\theta) + y \sin(\theta) + g\cos(\theta) + f\sin(\theta)) + C(x,y) = 0}\)
otrzymał \(\displaystyle{ PQ \cdot PR = C(x,y)}\)
Autor pisze coś o pierwiastkach równania `c(x,y) ` ale gdzie zostały one wyznaczone?

Ogólniw nie bardzo widzę, w jaki sposób iloczyn dwóch odcinków daje równanie okręgu?

Dziękuję
SidCom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 716
Rejestracja: 5 sty 2012, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 125 razy

Re: Twierdzenie iloczyn dwóch odcinków daje równanie okręgu?

Post autor: SidCom »

w jaki sposób autor z równania(...)otrzymał
otrzymał, bo zna wzory Viete'a dla trójmianu $$ax^2+bx+c=0$$ czyli np.to, że iloczyn pierwiastków wynosi \(\displaystyle{ x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}}\). W jego równaniu \(\displaystyle{ a=1,c= C(x,y) }\)
Tak w ogóle jest to twierdzenie o siecznych znane z geometrii szkolnej, czy o potędze punktu wzgledem okręgu...

Jeszcze coś. Równanie okręgu o środku \(\displaystyle{ O(x_0,y_0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\) ma postać: $$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$$
Jak się wykona działania w nawiasach to się dostanie: $$x^2+y^2+x(-2x_0)+y(-2y_0)+x_0^2+y_0^2-r^2=0 $$
Kładąc \(\displaystyle{ -x_0 \equiv g,-y_0 \equiv f}\) oraz \(\displaystyle{ x_0^2+y_0^2-r^2 \equiv c}\) mamy to co Autor,
czyli $$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 =C(x,y)$$ czyli jego postać znormalizowaną. Analogiczne rachunki Autor przeprowadził "w pamięci" dla punktu \(\displaystyle{ R}\) dostając drugi pierwiastek równania...
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 261 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Twierdzenie iloczyn dwóch odcinków daje równanie okręgu?

Post autor: Mondo »

@SidCom, dzieki teraz to ma sens! :)

Jedna rzecz która jeszcze mi nie pasuje to w jaki sposób `c` w przed ostatnim równaniu zostało zamienione na `C(x,y)` które jest przecież `0`?
Czyli jak z
\(\displaystyle{ (x+r\cos(\theta)^2 + (y+r\sin(\theta)^2 + 2g(x+r\cos(\theta)) + 2f(y+r\sin(\theta)) + c = 0 }\)
otrzymał:
\(\displaystyle{ r^2 + 2r(x\cos(\theta) + y\sin(\theta) + g\cos(\theta) + f\sin(\theta)) + C(x,y) = 0}\)

Dzięki

Dodano po 35 minutach 54 sekundach:
Mam jeszcze dodatkowe pytanie o katy `PAO` oraz \(\displaystyle{ A'PO}\), są równe ale nie wiem dlaczego?
Ostatnio zmieniony 21 mar 2021, o 13:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
SidCom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 716
Rejestracja: 5 sty 2012, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 125 razy

Re: Twierdzenie iloczyn dwóch odcinków daje równanie okręgu?

Post autor: SidCom »

Błąd nawiasów: (niepotrzebne nawiasy wokół \(\displaystyle{ \theta}\) i wkradł się mały błąd ale mniejsza o to...)
$$\displaystyle{ (x+r\cos(\theta)^2 + (y+r\sin(\theta)^2 + 2g(x+r\cos(\theta)) + 2f(y+r\sin(\theta)) + c = 0 }$$
powinno być:
$$\displaystyle{ (x+r\cos\theta)^2 + (y+r\sin\theta)^2 + 2g(x+r\cos\theta) + 2f(y+r\sin\theta) + c = 0 }$$
Wykonanie działań i pogrupowanie:
$$ \color{red}{x^2}+\color{green}{2xr\cos \theta} + \color{blue}{r^2\cos^2\theta} + \color{red}{y^2}+\color{green}{2yr\sin\theta}+\color{blue}{r^2\sin^2\theta}+\color{red}{2gx}+\color{green}{2gr\cos\theta}+\color{red}{2fy}+\color{green}{2fr\sin\theta}+\color{red}{c}=0$$

$$\color{red}{C(x,y)}+\color{blue}{r^2}+\color{green}{2r(x\cos\theta + y\sin\theta+g\cos\theta+f\sin\theta)}\color{black}{=0} $$

Jeśli chodzi o kąty powiedz coś więcej. To chyba inne zagadnienie?
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 261 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Twierdzenie iloczyn dwóch odcinków daje równanie okręgu?

Post autor: Mondo »

Tak, mój błąd. Teraz wszystko się zgadza, ładnie to rozpisałeś, dzieki!
SidCom pisze: 21 mar 2021, o 16:24 Jeśli chodzi o kąty powiedz coś więcej. To chyba inne zagadnienie?
Nieco inne ale wciąż dotyczy rysunku z pierwszego postu

Kod: Zaznacz cały

https://i2.paste.pics/796e202e27015761ebe45897e885b151.png
. Chodzi o rysunek 18.2 Autor w kolejnym paragrafie pisze iż kąt \(\displaystyle{ AOP }\)oraz \(\displaystyle{ POA'}\) są równe. gdzie odcinek `PO` jest styczną do okręgu opisanego na trzech punktach A, A' oraz P. I teraz, nie potrafie znaleźć zależności z której wynika równość tych kątów. Widze iż trójkąty AA'P oraz A'PO mają współny kąt O oraz bok PA ale to za mało by uznać je podobnymi.
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 261 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Twierdzenie iloczyn dwóch odcinków daje równanie okręgu?

Post autor: Mondo »

@SidCom, mam jeszcze pytanie o pierwiastki równania w tym dowodzie. Na końcu autor pisze:

\(\displaystyle{ PQ \cdot PR = C(x,y)}\)
I teraz zastanawiam się dlaczego pierwiastkami równania są odcinki a nie punkty `Q` oraz `R`? Z jednej strony ma to sens bo wyjściowo wyszliśmu od `r = PQ` no ale mimo wszystko na końcu ten nasz okrąg przecinają konkrentne punkty znajdujące się na tej prostej a nie odcinki... :roll:
ODPOWIEDZ