Czworokąt

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
bot803

Czworokąt

Post autor: bot803 »

Czy istnieje czworokąt wypukły, którego przekątne dzielą na cztery trójkąty o polach 1, 2, 3, 4? Jeśli istnieje trzeba go opisać, jeśli nie uzasadnić.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Czworokąt

Post autor: kerajs »

Niech w czworokącie kąt miedzy przekątnymi wynosi \(\displaystyle{ \alpha}\) , a ich punkt przecięcia dzieli pierwszą przekątną na odcinki \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y,}\) a drugą na odcinki \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) . Przekątne dzielą czworokąt na trójkąty o polach \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) takich że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{1}{2}xp\sin \alpha =a \\ \frac{1}{2}xq\sin \alpha =b \\ \frac{1}{2}yq\sin \alpha =c \\ \frac{1}{2}yp\sin \alpha =d \end{cases} \\
\begin{cases} \frac{a}{p}= \frac{b}{q} \\ \frac{d}{p}= \frac{c}{q} \end{cases} \\
\frac{p}{q}= \frac{a}{b}= \frac{d}{c}\\
ac=bp}\)

Jak widać, warunkiem jest równość iloczynów pól leżących naprzeciw.

W powyższym zadaniu takiej równości nie można ułożyć. więc czworokąt o podanych polach (uzyskanych z przecięcia przekątnych) nie istnieje.
ODPOWIEDZ