Styczne i sieczne

[Srinivasa]

Jak udowodnić coś takiego?

Punkt \(\displaystyle{ A}\) należy do prostej przechodzącej przez punkty przecięcia dwóch okręgów \(\displaystyle{ O_{1}}\) i \(\displaystyle{ O_{2}}\).
Z punktu \(\displaystyle{ A}\) poprowadzono styczną do okręgu \(\displaystyle{ O_{1}}\) w punkcie \(\displaystyle{ B}\) oraz styczne do okręgu \(\displaystyle{ O_{2}}\), odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ C}\). Wykaż, że jeśli kąt \(\displaystyle{ DBA}\) wynosi \(\displaystyle{ 80^\circ}\) oraz kąt \(\displaystyle{ ACD=70^\circ}\), to trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest równoboczny.

Dodano po 19 godzinach 37 minutach 42 sekundach:
Nikt nie wie? Naprawdę?

[JHN]

1) Niech okręgi \(\displaystyle{ O_{1}}\) i \(\displaystyle{ O_{2}}\) przecinają się w punktach \(\displaystyle{ K,L}\). Wtedy z tw. o potędze punktu względem okręgu:
-) dla \(\displaystyle{ O_{1}}\) mamy \(\displaystyle{ |AB|^2=|AK|\cdot |AL|}\)
-) dla \(\displaystyle{ O_{2}}\) mamy \(\displaystyle{ |AC|^2=|AD|^2=|AK|\cdot |AL|}\)
zatem \(\displaystyle{ |AB|=|AD|=|AC|}\)
2) bilansując kąty w \(\displaystyle{ \Delta BAD,\ \Delta DAC}\), równoramiennych (z 1)), otrzymamy \(\displaystyle{ |\angle BAD|=20^\circ,\ |\angle DAC|=40^\circ}\)
3) w równoramiennym (z 1)) \(\displaystyle{ \Delta BAC}\) mamy zatem \(\displaystyle{ |\angle BAC|=20^\circ+40^\circ=60^\circ}\), czyli jest równoboczny. CKD

Pozdrawiam