trygonometria w planimetrii

[daenerya]

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ma miarę \(\displaystyle{ 2 \alpha}\). Oblicz obwód tego trójkąta, jeśli promień okręgu wpisanego jest równy 2.
Bardzo proszę o pomoc, zupełnie nie mam na to pomysłu sidenote: Możliwe, że jest to jakieś zadanie maturalne lub próbne; nie, nie było podane czy opisany kąt jest ostry czy nie.

[Janusz Tracz]

Zauważ, że przeciwprostokątna jest równa \(\displaystyle{ \frac{2}{\tg \alpha} + \frac{2}{\tg \left( 45^{\circ}- \alpha \right)} }\). Zatem obwód to:

\(\displaystyle{ \text{Obw}=\frac{2}{\tg \alpha} + \frac{2}{\tg \left( 45^{\circ}- \alpha \right)}+\left( \frac{2}{\tg \alpha} + \frac{2}{\tg \left( 45^{\circ}- \alpha \right)}\right)\cos \left( 2 \alpha \right) +\left(\frac{2}{\tg \alpha} + \frac{2}{\tg \left( 45^{\circ}- \alpha \right)}\right)\sin \left( 2 \alpha \right) }\)

\(\displaystyle{ \text{Obw}=\left( \frac{2}{\tg \alpha} + \frac{2}{\tg \left( 45^{\circ}- \alpha \right)}\right) \left( 1+\cos 2 \alpha +\sin 2 \alpha \right) }\)

nie było podane czy opisany kąt jest ostry czy nie.

Bo to jest kąt w trójkącie prostokątnym więc wiadomo, że jest ostry.

[JHN]

1) Jeśli \(\displaystyle{ \alpha=45^\circ}\) , to zadanie jest niejednoznaczne
2) W przeciwnym wypadku:
-) zapisz związki trygonometryczne boków \(\displaystyle{ a, b}\) w tym trójkącie w zależności od \(\displaystyle{ c>2r=4}\)
-) wykorzystaj wzór na długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny:

\(\displaystyle{ r={a+b-c\over2}}\)

i do odpowiedzi blisko...

Pozdrawiam

[daenerya]

dziękuję <3