Półkole i dwa okręgi

[Elayne]

Dwa zewnętrznie styczne okręgi o promieniu \(\displaystyle{ R_1}\) i \(\displaystyle{ R_2}\) są wewnętrznie styczne do półkola o promieniu \(\displaystyle{ 1}\), jak na rysunku poniżej. Udowodnić:
\(\displaystyle{ 2(\sqrt{2}-1) \ge R_1 + R_2}\)

Rysunek:

Kod: Zaznacz cały

https://i.postimg.cc/GtY75fpN/Qakclxzi12-Me34.png

[janusz47]

Niech \(\displaystyle{ R_{1} \geq R_{2} }\)

\(\displaystyle{ R_{1}+R_{2} \leq 2R_{1} \ \ (*) }\)

Obliczamy długość promienia \(\displaystyle{ R_{1}}\)

Prowadzimy odcinek prostopadły do średnicy półkola w punkcie zewnętrznej styczności dwóch okręgów o promieniu \(\displaystyle{ R_{1}. }\)

Wtedy

\(\displaystyle{ R_{1} \sqrt{2} + R_{1} = 1, }\)

\(\displaystyle{ R_{1}(\sqrt{2} + 1) = 1, }\)

\(\displaystyle{ R_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}+1} |\cdot (\sqrt{2}-1)}\)

\(\displaystyle{ R_{1} = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}= \frac{\sqrt{2} -1}{2-1} = \sqrt{2} - 1.}\)

Na podstawie nierówności \(\displaystyle{ (*) }\)

\(\displaystyle{ R_{1} + R_{2}\leq 2(\sqrt{2} -1). }\)

[piasek101]

Może czegoś nie widzę (wczoraj na zadanie patrzyłem) - promień wpisanego jest zmienny (np. największy to pół), Tobie wyszedł stały.

[janusz47]

Stały, bo zastąpiłem dwa okręgi o różnych promieniach \(\displaystyle{ R_{1}> R_{2} }\), dwoma okręgami o takim samym większym promieniu \(\displaystyle{ R_{1}.}\)

[piasek101]

Też wyznaczyłem (wczoraj) promień okręgu gdy oba są takie same.
Ale nie zauważyłem aby z tego wynikało, że gdy zwiększy się \(\displaystyle{ R_1}\) (a może być większy) to zmniejszenie \(\displaystyle{ R_2}\) spowoduje prawdziwość tezy.