Zadanie o moście i rzece

[Pawel O]

Mamy dwa punktowe miasta po jednym z każdej strony rzeki.Gdzie wybudować most, aby droga z jednego miasta do drugiego była najmniejsza? Most jest prostopadły do rzeki, której szerokości nie można pominąć. Proszę o dowód.

[janusz47]

Przez punkt \(\displaystyle{ A }\) na przeciwko jednego z domów prowadzimy prostopadłą do kierunku rzeki i odmierzamy na niej odcinek \(\displaystyle{ \overline{AC} }\) równy szerokości rzeki. Następnie łączymy punkt \(\displaystyle{ C }\) z punktem \(\displaystyle{ B }\) d domu po przeciwnej stronie rzeki. Punkt \(\displaystyle{ D }\) przecięcia odcinka \(\displaystyle{ \overline {CB} }\) z drugim brzegiem rzeki jest punktem, w którym należy zbudować most \(\displaystyle{ \overline{DE} }\) prostopadły do brzegów rzeki.

Istotnie zbudowawszy most \(\displaystyle{ \overline{DE} }\) i połączywszy \(\displaystyle{ E }\) z \(\displaystyle{ A }\) otrzymamy czworokąt \(\displaystyle{ AEDC }\) który jest równoległobokiem, ponieważ jego przeciwległe boki \(\displaystyle{ AC }\) i \(\displaystyle{ ED }\) są równoległe i równe.
Z tego powodu droga \(\displaystyle{ AEDB }\) co do długości równa się drodze \(\displaystyle{ ACB.}\)

Łatwo dowieść, że każda inna droga jest od niej dłuższa.

Zadanie pochodzi z książki

J. Perelman. CIEKAWA GEOMETRIA Wyd. PZWSZ. WARSZAWA 1957.