Wyznaczyć zbiór środków ciężkości

[max123321]

Dane są punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) oraz prosta \(\displaystyle{ k}\). Wyznaczyć zbiór środków ciężkości wszystkich takich trójkątów \(\displaystyle{ ABP}\), że \(\displaystyle{ P \in k}\).

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Niech środek odcinka \(\displaystyle{ AB}\) to będzie \(\displaystyle{ S}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ P}\) rzut punktu \(\displaystyle{ S}\) na prostą \(\displaystyle{ k}\). Niech \(\displaystyle{ C}\) będzie środkiem ciężkości trójkąta \(\displaystyle{ APB}\) czyli \(\displaystyle{ CS=2/3PS}\). Uważam, że zbiór środków ciężkości z zadania to będzie prosta \(\displaystyle{ m}\) równoległa do \(\displaystyle{ k}\) przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ C}\).

Należy udowodnić, że każdy środek ciężkości leży na tej prostej oraz, że każdy z punktów tej prostej jest środkiem ciężkości jakiegoś trójkąta. No więc weźmy jakiś środek ciężkości \(\displaystyle{ C'}\) i oznaczmy przecięcie prostej \(\displaystyle{ SC'}\) z prostą \(\displaystyle{ k}\) przez \(\displaystyle{ P'}\). Z założenia, że \(\displaystyle{ C'}\) jest środkiem ciężkości to \(\displaystyle{ SC'=2/3SP'}\), zatem z cechy bkb trójkąty \(\displaystyle{ SCC'}\) i \(\displaystyle{ SPP'}\) są podobne, zatem prosta \(\displaystyle{ CC'}\) jest równoległa do \(\displaystyle{ PP'}\) czyli punkt \(\displaystyle{ C'}\) leży na prostej \(\displaystyle{ m}\). W drugą stronę weźmy jakiś punkt z prostej \(\displaystyle{ m}\) i oznaczmy go \(\displaystyle{ C''}\). Przecięcie prostej \(\displaystyle{ C''}\) z prostą \(\displaystyle{ k}\) oznaczmy \(\displaystyle{ P''}\). Prosta \(\displaystyle{ CC''}\) jest równoległa do \(\displaystyle{ PP''}\), zatem z cechy kkk trójkąty \(\displaystyle{ SPP''}\) i \(\displaystyle{ SCC''}\) są podobne, czyli stosunki boków są odpowiednie, bo \(\displaystyle{ SC''=2/3SP''}\), zatem punkt \(\displaystyle{ C''}\) jest środkiem ciężkości pewnego trójkąta.

Czy tak jest dobrze?

[kerajs]

Uważam, że zbiór środków ciężkości z zadania to będzie prosta \(\displaystyle{ m}\) równoległa do \(\displaystyle{ k}\) przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ C}\).

Tak, gdy odcinek \(\displaystyle{ AB}\) jest równoległy do prostej \(\displaystyle{ k}\). A w przeciwnym przypadku też rozwiązaniem będzie cała prosta \(\displaystyle{ m}\) ?

[max123321]

No chyba tak, dlaczego nie?

[kerajs]

Tak na mój rozumek, jak trójkąt ma zerowe pole to nie ma ciężaru, więc i punktu ciężkości.

[a4karo]

Zregenerowany trójkąt jest odcinkiem lub punktem

[max123321]

No, ale nie będzie miał zerowego pola, przeczytaj sobie jeszcze raz.

Dodano po 4 minutach 5 sekundach:
Chyba, że mówicie o tym skrajnym przypadku, no to wtedy to będzie ta prosta m, tylko bez jednego punktu.

[a4karo]

Tu bardzo ładnie funkcjonuje rachunek wektorowy:
Niech `Q` będzie punktem przecięcia prostej `k` i prostej zawierającej odcinek `AB`.

Niech `M` będzie środkiem ciężkości trójkąta `ABP`, zaś `S` środkiem odcinka `AB`. Ponadto niech `R` będzie punktem na odcinku `QS`, takim, że `|QR|=2/3|QS|`.
Wtedy
\(\displaystyle{ \overrightarrow{RM}=\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{RM}=\frac13\left(\overrightarrow{QS}+\overrightarrow{SP}\right)=\frac13\overrightarrow{QP}}\)

To oznacza, że jeżeli `P` leży na prostej `k`, to punkt `M` leży na prostej równoległej do `k` i przechodzącej przez `R`

Ten rachunek jest poprawny dla `P\ne Q`.

Jeżeli `P=Q`, to trójkąt `ABP` redukuje się do odcinka, którego środek ciężkości pokrywa się z jego środkiem. - położenie środka ciężkości na ogół nie pokryje się z punktem `R`

[max123321]

Wektorów raczej nie chciałbym tu używać, wolałbym zrobić to zadanie metodami czysto syntetycznymi. Ale jak rozumiem, jeśli prosta \(\displaystyle{ k}\) jest nierównoległa do \(\displaystyle{ AB}\) to rozwiązaniem jest prosta \(\displaystyle{ m}\), tylko bez punktu przecięcia prostych \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ AB}\), zgadza się?

[a4karo]

tak

Dodano po 3 godzinach 5 minutach 12 sekundach:
Jak już znasz rozwiązanie, to możesz zastosować tw odwrotne do tw. Talesa do kąta `QSP` przeciętego prostymi `k` i `m`